A

将点$A\left(m,3\right)$代入$y=2x$得，$2m=3$，
解得，$m=\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$A$的坐标为（$\frac{3}{2}$，$3)$，
$\therefore$由图可知，不等式$2x\geqslant ax+4$的解集为$x\geqslant \frac{3}{2}$.
故选：$A$.