$\because$二次函数$y=-x^{2}+2x+3=-\left(x-1\right)^{2}+4$，
$\therefore$该函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\because -1\leqslant x\leqslant 2$，
$\therefore$当$x=-1$时，$y$取得最小值$0$；当$x=1$时，$y$取得最大值$4$；
$\therefore$当$-1\leqslant x\leqslant 2$时，$y$的取值范围为$0\leqslant y\leqslant 4$，
故答案为：$0\leqslant y\leqslant 4$.

$\because$二次函数$y=-x^{2}+2x+3=-\left(x-1\right)^{2}+4$，
$\therefore$该函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\because -1\leqslant x\leqslant 2$，
$\therefore$当$x=-1$时，$y$取得最小值$0$；当$x=1$时，$y$取得最大值$4$；
$\therefore$当$-1\leqslant x\leqslant 2$时，$y$的取值范围为$0\leqslant y\leqslant 4$，
故答案为：$0\leqslant y\leqslant 4$.