$(1)$①把$A\left(0,6\right)$代入$y=kx+4m$，得$4m=6$，
解得：$m=\frac{3}{2}$，
把$\left(1,t\right)$代入$y=kx+6$，得$k+6=t$，
$\therefore k=t-6$，
$\because k \lt 0$，
$\therefore t-6 \lt 0$，
$\therefore t \lt 6$，
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\lt$；
②由①得：$OC=6$，
则直线$l_{1}$的解析式为$y=kx+6$，
$\because OD=8$，
在$Rt\triangle COD$中，$CD=\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}=10$，
作$BH\bot CD$于点$H$，如图，

$\because$点$B$恰好为$CO$、$CD$的关联点，
$\therefore OB=BH$，
$\because S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot OC$，$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}CD\cdot BH=\frac{1}{2}BD\cdot OC$，
$\therefore \frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△BCD}}=\frac{\frac{1}{2}OB•OC}{\frac{1}{2}BD•OC}=\frac{\frac{1}{2}OB•OC}{\frac{1}{2}CD•BH}$，
$\therefore \frac{OB}{BD}=\frac{OC}{CD}=\frac{3}{5}$，
$\therefore OB=3$，
$\therefore B\left(3,0\right)$，
把$B\left(3,0\right)$代入$y=kx+6$，得：$3k+6=0$，
解得：$k=-2$，
$\therefore$直线$l_{1}$的解析式为$y=-2x+6$；
$(2)$①证明：$\because n=8m\left(m \gt 0\right)$，$D$为$OB$中点，
则$D\left(4m,0\right)$，
将$B\left(8m,0\right)$代入$l_{1}$：$y=kx+4m$中，得：$8mk+4m=0$，
解得：$k=-\frac{1}{2}$，
$\therefore y=-\frac{1}{2}x+4m$，
$\because$点$P$为线段$BC$上一点，且为$x$轴和$y$轴的关联点，
$\therefore$设$P\left(a,a\right)$，则$a=-\frac{1}{2}a+4m$，
解得：$a=\frac{8}{3}m$，
$\therefore P(\frac{8}{3}m$，$\frac{8}{3}m)$，
过点$P$作$PM\bot x$轴于点$M$，过点$E$作$EN\bot PM$交$MP$的延长线于点$N$，如图，

$\because \angle EPN+\angle DPM=90^{\circ}$，$\angle PDM+\angle DPM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPN=\angle PDM$，
在$\triangle ENP$和$\triangle PMD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNE=∠DMP=90°}\\{∠EPN=∠PDM}\\{PE=DP}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ENP$≌$\triangle PMD\left(AAS\right)$，
$\therefore NE=PM=\frac{8}{3}m$，$NP=MD=\frac{4}{3}m$，
故$E(\frac{16}{3}m,4m)$，$y_{E}=y_{C}$，
连接$CE$，则$CE$∥$OB$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，$\angle 2=\angle 4$，
由题知$\angle 3=\angle 4$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\therefore$点$E$为直线$l_{1}$：$y=kx+4m$与直线$l_{2}$：$y=-kx+4m$的关联点；②$\because$直线$l_{2}$：$y=kx+4m\left(k \lt 0\right)$交$y$轴于点$C$，
$\therefore C\left(0,4m\right)$，
$\because A\left(0,6\right)$，
$\therefore AC=|6-4m|$，
作$EL$∥$AC$，交$l_{2}$于点$L$，作$AJ\bot l_{2}$于$J$，作$EK\bot l_{2}$于$K$，

则$\angle ELK=\angle ACJ$，$\angle EKL=\angle AJC=90^{\circ}$，
由（2）①知$k=-\frac{1}{2}$，则直线$l_{2}$：$y=\frac{1}{2}x+4m$，
$\because$对于直线$l_{2}$：$y=\frac{1}{2}x+4m$上任意两点$M$、$N$，始终有$S_{\triangle AMN}=S_{\triangle EMN}$，
$\therefore AJ=EK$，
$\therefore \triangle ELK$≌$\triangle ACJ\left(AAS\right)$，
$\therefore EL=AC$，
$\because E(\frac{16}{3}m,4m)$，
$\therefore L(\frac{16}{3}m$，$\frac{20}{3}m)$，
$\therefore EL=\frac{8}{3}m$，
$\therefore |6-4m|=\frac{8}{3}m$，
解得：$m=\frac{9}{10}$或$\frac{9}{2}$，
$\therefore m$的值为$\frac{9}{10}$或$\frac{9}{2}$.

$(1)$①把$A\left(0,6\right)$代入$y=kx+4m$，得$4m=6$，
解得：$m=\frac{3}{2}$，
把$\left(1,t\right)$代入$y=kx+6$，得$k+6=t$，
$\therefore k=t-6$，
$\because k \lt 0$，
$\therefore t-6 \lt 0$，
$\therefore t \lt 6$，
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\lt$；
②由①得：$OC=6$，
则直线$l_{1}$的解析式为$y=kx+6$，
$\because OD=8$，
在$Rt\triangle COD$中，$CD=\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}=10$，
作$BH\bot CD$于点$H$，如图，

$\because$点$B$恰好为$CO$、$CD$的关联点，
$\therefore OB=BH$，
$\because S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot OC$，$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}CD\cdot BH=\frac{1}{2}BD\cdot OC$，
$\therefore \frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△BCD}}=\frac{\frac{1}{2}OB•OC}{\frac{1}{2}BD•OC}=\frac{\frac{1}{2}OB•OC}{\frac{1}{2}CD•BH}$，
$\therefore \frac{OB}{BD}=\frac{OC}{CD}=\frac{3}{5}$，
$\therefore OB=3$，
$\therefore B\left(3,0\right)$，
把$B\left(3,0\right)$代入$y=kx+6$，得：$3k+6=0$，
解得：$k=-2$，
$\therefore$直线$l_{1}$的解析式为$y=-2x+6$；
$(2)$①证明：$\because n=8m\left(m \gt 0\right)$，$D$为$OB$中点，
则$D\left(4m,0\right)$，
将$B\left(8m,0\right)$代入$l_{1}$：$y=kx+4m$中，得：$8mk+4m=0$，
解得：$k=-\frac{1}{2}$，
$\therefore y=-\frac{1}{2}x+4m$，
$\because$点$P$为线段$BC$上一点，且为$x$轴和$y$轴的关联点，
$\therefore$设$P\left(a,a\right)$，则$a=-\frac{1}{2}a+4m$，
解得：$a=\frac{8}{3}m$，
$\therefore P(\frac{8}{3}m$，$\frac{8}{3}m)$，
过点$P$作$PM\bot x$轴于点$M$，过点$E$作$EN\bot PM$交$MP$的延长线于点$N$，如图，

$\because \angle EPN+\angle DPM=90^{\circ}$，$\angle PDM+\angle DPM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPN=\angle PDM$，
在$\triangle ENP$和$\triangle PMD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNE=∠DMP=90°}\\{∠EPN=∠PDM}\\{PE=DP}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ENP$≌$\triangle PMD\left(AAS\right)$，
$\therefore NE=PM=\frac{8}{3}m$，$NP=MD=\frac{4}{3}m$，
故$E(\frac{16}{3}m,4m)$，$y_{E}=y_{C}$，
连接$CE$，则$CE$∥$OB$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，$\angle 2=\angle 4$，
由题知$\angle 3=\angle 4$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\therefore$点$E$为直线$l_{1}$：$y=kx+4m$与直线$l_{2}$：$y=-kx+4m$的关联点；②$\because$直线$l_{2}$：$y=kx+4m\left(k \lt 0\right)$交$y$轴于点$C$，
$\therefore C\left(0,4m\right)$，
$\because A\left(0,6\right)$，
$\therefore AC=|6-4m|$，
作$EL$∥$AC$，交$l_{2}$于点$L$，作$AJ\bot l_{2}$于$J$，作$EK\bot l_{2}$于$K$，

则$\angle ELK=\angle ACJ$，$\angle EKL=\angle AJC=90^{\circ}$，
由（2）①知$k=-\frac{1}{2}$，则直线$l_{2}$：$y=\frac{1}{2}x+4m$，
$\because$对于直线$l_{2}$：$y=\frac{1}{2}x+4m$上任意两点$M$、$N$，始终有$S_{\triangle AMN}=S_{\triangle EMN}$，
$\therefore AJ=EK$，
$\therefore \triangle ELK$≌$\triangle ACJ\left(AAS\right)$，
$\therefore EL=AC$，
$\because E(\frac{16}{3}m,4m)$，
$\therefore L(\frac{16}{3}m$，$\frac{20}{3}m)$，
$\therefore EL=\frac{8}{3}m$，
$\therefore |6-4m|=\frac{8}{3}m$，
解得：$m=\frac{9}{10}$或$\frac{9}{2}$，
$\therefore m$的值为$\frac{9}{10}$或$\frac{9}{2}$.