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八年级数学解答题一般
题目
如图,四边形ABCDABCD中,AEAE平分∠BAD\angle BAD,DEDE平分∠ADC\angle ADC.
(1)(1)如果∠B+∠C=120∘\angle B+\angle C=120^{\circ},则∠AED\angle AED的度数=______;(直接写出计算结果,不必写出推理过程)=\_\_\_\_\_\_;(直接写出计算结果,不必写出推理过程)
(2)(2)根据（1）的结论,猜想∠B+∠C\angle B+\angle C与∠AED\angle AED之间的关系,并说明理由.
知识点：角平分线、三角形内角和定理章节：未标注

答案与解析

答案

(1)∠AED\left(1\right)\angle AED的度数=60∘=60^{\circ}，(解法同(2).)(1分)\left(2\right).)(1分)

(2)∠B+∠C=2∠AED,(1分)(2)\angle B+\angle C=2\angle AED,(1分)
理由如下：
设AEAE、DEDE与BCBC的交点为MM、NN；
△ABM\triangle ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180∘\angle B+\angle BAM+\angle AMB=180^{\circ}；
△ADE\triangle ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180∘\angle E+\angle EAD+\angle EDA=180^{\circ}；
△NCD\triangle NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180∘\angle C+\angle NDC+\angle CND=180^{\circ}；
由题意AEAE平分∠BAD\angle BAD，DEDE平分∠ADC\angle ADC，
可知：∠BAM=∠EAD\angle BAM=\angle EAD，∠EDA=∠EDC\angle EDA=\angle EDC；
故∠B+∠C=(180∘−∠BAM−∠NDC)+(180∘−∠BMA−∠DNC)\angle B+\angle C=\left(180^{\circ}-\angle BAM-\angle NDC\right)+\left(180^{\circ}-\angle BMA-\angle DNC\right)；
又∠E=180∘−∠EAD−∠EDA=180∘−∠BAM−∠NDC\angle E=180^{\circ}-\angle EAD-\angle EDA=180^{\circ}-\angle BAM-\angle NDC，且∠E=180∘−∠EMN−∠ENM=180∘−∠BMA−∠DNC\angle E=180^{\circ}-\angle EMN-\angle ENM=180^{\circ}-\angle BMA-\angle DNC，
故∠B+∠C=2∠E.(4分)\angle B+\angle C=2\angle E.(4分)

解析

(1)∠AED\left(1\right)\angle AED的度数=60∘=60^{\circ}，(解法同(2).)(1分)\left(2\right).)(1分)

(2)∠B+∠C=2∠AED,(1分)(2)\angle B+\angle C=2\angle AED,(1分)
理由如下：
设AEAE、DEDE与BCBC的交点为MM、NN；
△ABM\triangle ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180∘\angle B+\angle BAM+\angle AMB=180^{\circ}；
△ADE\triangle ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180∘\angle E+\angle EAD+\angle EDA=180^{\circ}；
△NCD\triangle NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180∘\angle C+\angle NDC+\angle CND=180^{\circ}；
由题意AEAE平分∠BAD\angle BAD，DEDE平分∠ADC\angle ADC，
可知：∠BAM=∠EAD\angle BAM=\angle EAD，∠EDA=∠EDC\angle EDA=\angle EDC；
故∠B+∠C=(180∘−∠BAM−∠NDC)+(180∘−∠BMA−∠DNC)\angle B+\angle C=\left(180^{\circ}-\angle BAM-\angle NDC\right)+\left(180^{\circ}-\angle BMA-\angle DNC\right)；
又∠E=180∘−∠EAD−∠EDA=180∘−∠BAM−∠NDC\angle E=180^{\circ}-\angle EAD-\angle EDA=180^{\circ}-\angle BAM-\angle NDC，且∠E=180∘−∠EMN−∠ENM=180∘−∠BMA−∠DNC\angle E=180^{\circ}-\angle EMN-\angle ENM=180^{\circ}-\angle BMA-\angle DNC，
故∠B+∠C=2∠E.(4分)\angle B+\angle C=2\angle E.(4分)

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