A

如图，连接$OC$，$OC_{1}$，过点$C$作$CH\bot x$轴于$H$.

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BA=BC$，$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\because A\left(0,1\right)$，$B\left(2,0\right)$，
$\therefore OA=1$，$OB=2$，
$\because \angle AOB=\angle BHC=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABO+\angle OAB=90^{\circ}$，$\angle ABO+\angle CBH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OAB=\angle CBH$，
在$\triangle AOB$和$\triangle BHC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠OAB=∠CBH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle BHC\left(AAS\right)$，
$\therefore BH=OA=1$，$CH=OB=2$，
$\therefore OH=OB+BH=2+1=3$，
$\therefore C\left(3,2\right)$，
当点$C$旋转到第二象限时，$C_{1}(-2,3)$，
当点$C$旋转到第三象限时，$C_{2}(-3,-2)$，
当点$C$旋转到第四象限时，$C_{3}(2,-3)$，
综上所述，点$C_{n}$的坐标不可能是$\left(-2,-3\right)$，
故选：$A$.

连接$OC$，$OC_{1}$，过点$C$作$CH\bot x$轴于$H$.想办法求出$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$的坐标，利用规律解决问题即可.

【点评】

本题考查坐标与图形的变化$-$旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.