如图,抛物线$y=ax^{2}+2x-3a$经过$A\left(1,0\right)$、$B\left(b,0\right)$、$C\left(0,c\right)$三点.
$(1)$求$b$,$c$的值；
$(2)$在抛物线对称轴上找一点$P$,使$PA+PC$的值最小,求点$P$的坐标；
$(3)$点$M$为$x$轴上一动点,抛物线上是否存在一点$N$,使以$A$,$C$,$M$,$N$四点构成的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.