（1）把$A\left(1,0\right)$代入抛物线$y=ax^{2}+2x-3a$，
可得：$a+2-3a=0$
解得$a=1$.
$\therefore$抛物线的解析式为：$y=x^{2}+2x-3$；
把$B\left(b,0\right)$，$C\left(0,c\right)$代入$y=x^{2}+2x-3$，
可得：$b=1$或$b=-3$，$c=-3$，
$\because A\left(1,0\right)$，
$\therefore b=-3$；
$(2)\because$抛物线的解析式为：$y=x^{2}+2x-3$，
$\therefore$其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
连接$BC$，如图$1$所示，

$\because B\left(-3,0\right)$，$C\left(0,-3\right)$，
$\therefore$设直线$BC$的解析式为$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-x-3$，
当$x=-1$时，$y=1-3=-2$，
$\therefore P\left(-1,-2\right)$；
$(3)$存在点$N$，使以$A$，$C$，$M$，$N$四点构成的四边形为平行四边形.
如图$2$所示，


①当点$N$在$x$轴下方时，
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$，$C\left(0,-3\right)$，
$\therefore N_{1}(-2,-3)$；
②当点$N$在$x$轴上方时，
如图$2$，过点${N\’}$作${N\’}D\bot x$轴于点$D$，
在$\triangle AN\’D$与$\triangle {M\’}CO$中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{N\’}DA=∠COM\’}\\{∠CM\’A=∠{N\’}AD}\\{AN\’=CM\’}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AN\’D$≌$\triangle {M\’}CO\left(AAS\right)$，
$\therefore {N\’}D=OC=3$，即${N\’}$点的纵坐标为$3$.
$\therefore 3=x^{2}+2x-3$，
解得$x=-1+\sqrt{7}$或$x=-1-\sqrt{7}$，
$\therefore {N\’}(-1+\sqrt{7}$，$3)$，$N$“$(-1-\sqrt{7}$，$3)$.
综上所述，符合条件的点$N$的坐标为$\left(-2,-3\right)$，$(-1+\sqrt{7}$，$3)$或$(-1-\sqrt{7}$，$3)$.

（1）把$A\left(1,0\right)$代入抛物线$y=ax^{2}+2x-3a$，
可得：$a+2-3a=0$
解得$a=1$.
$\therefore$抛物线的解析式为：$y=x^{2}+2x-3$；
把$B\left(b,0\right)$，$C\left(0,c\right)$代入$y=x^{2}+2x-3$，
可得：$b=1$或$b=-3$，$c=-3$，
$\because A\left(1,0\right)$，
$\therefore b=-3$；
$(2)\because$抛物线的解析式为：$y=x^{2}+2x-3$，
$\therefore$其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
连接$BC$，如图$1$所示，

$\because B\left(-3,0\right)$，$C\left(0,-3\right)$，
$\therefore$设直线$BC$的解析式为$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-x-3$，
当$x=-1$时，$y=1-3=-2$，
$\therefore P\left(-1,-2\right)$；
$(3)$存在点$N$，使以$A$，$C$，$M$，$N$四点构成的四边形为平行四边形.
如图$2$所示，


①当点$N$在$x$轴下方时，
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$，$C\left(0,-3\right)$，
$\therefore N_{1}(-2,-3)$；
②当点$N$在$x$轴上方时，
如图$2$，过点${N\’}$作${N\’}D\bot x$轴于点$D$，
在$\triangle AN\’D$与$\triangle {M\’}CO$中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{N\’}DA=∠COM\’}\\{∠CM\’A=∠{N\’}AD}\\{AN\’=CM\’}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AN\’D$≌$\triangle {M\’}CO\left(AAS\right)$，
$\therefore {N\’}D=OC=3$，即${N\’}$点的纵坐标为$3$.
$\therefore 3=x^{2}+2x-3$，
解得$x=-1+\sqrt{7}$或$x=-1-\sqrt{7}$，
$\therefore {N\’}(-1+\sqrt{7}$，$3)$，$N$“$(-1-\sqrt{7}$，$3)$.
综上所述，符合条件的点$N$的坐标为$\left(-2,-3\right)$，$(-1+\sqrt{7}$，$3)$或$(-1-\sqrt{7}$，$3)$.