在矩形$ABCD$中，$AD=4$，
$\therefore BC=AD=4$，
$\because CF=2$，
在$Rt\triangle CBF$中，$BF=\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because CD$∥$AB$，
$\therefore \triangle CFN$∽$\triangle ABN$，
$\therefore \frac{CF}{AB}=\frac{FN}{BN}$，
$\because AB=CD=8$，$FN=FB-BN=2\sqrt{5}-BN$，
$\therefore \frac{2}{8}=\frac{2\sqrt{5}-BN}{BN}$，
$\therefore BN=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，$AB$∥$CD$，
$\because AB=8$，$AD=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
$\because AB=8$，$BC=AD=4$，$CF=2$，
$\therefore \frac{CF}{CB}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\because \angle BCF=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BCF$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \angle CBF=\angle BAC$，
$\because \angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF+\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CNB=90^{\circ}$，
$\therefore CA\bot BF$，
$\because \angle EBF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BMN=45^{\circ}$，
$\therefore MN=BN=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
$\because \angle CBF=\angle BAC$，$\angle BNC=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BCN$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{CN}{BN}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore CN=\frac{1}{2}BN=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore AB=AC-MN-CN=4\sqrt{5}-\frac{8\sqrt{5}}{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$CM=CN+MN=\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \triangle AME$∽$\triangle CBM$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{AM}{CM}$，
$\therefore \frac{AE}{4}=\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$，
$\therefore AE=\frac{8}{3}$，
$\therefore DE=AD-AE=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
故答案为：$\frac{4}{3}$.

在矩形$ABCD$中，$AD=4$，
$\therefore BC=AD=4$，
$\because CF=2$，
在$Rt\triangle CBF$中，$BF=\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because CD$∥$AB$，
$\therefore \triangle CFN$∽$\triangle ABN$，
$\therefore \frac{CF}{AB}=\frac{FN}{BN}$，
$\because AB=CD=8$，$FN=FB-BN=2\sqrt{5}-BN$，
$\therefore \frac{2}{8}=\frac{2\sqrt{5}-BN}{BN}$，
$\therefore BN=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，$AB$∥$CD$，
$\because AB=8$，$AD=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
$\because AB=8$，$BC=AD=4$，$CF=2$，
$\therefore \frac{CF}{CB}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\because \angle BCF=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BCF$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \angle CBF=\angle BAC$，
$\because \angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF+\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CNB=90^{\circ}$，
$\therefore CA\bot BF$，
$\because \angle EBF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BMN=45^{\circ}$，
$\therefore MN=BN=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
$\because \angle CBF=\angle BAC$，$\angle BNC=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BCN$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{CN}{BN}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore CN=\frac{1}{2}BN=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore AB=AC-MN-CN=4\sqrt{5}-\frac{8\sqrt{5}}{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$CM=CN+MN=\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \triangle AME$∽$\triangle CBM$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{AM}{CM}$，
$\therefore \frac{AE}{4}=\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$，
$\therefore AE=\frac{8}{3}$，
$\therefore DE=AD-AE=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
故答案为：$\frac{4}{3}$.