C

$\because m(x^{2}-y^{2})+x+x^{2}-y^{2}-y=0$，
$\therefore \left(m+1\right)(x^{2}-y^{2})+x-y=0$，
$\therefore \left(m+1\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)=0$，
即$\left(x-y\right)\left[\left(m+1\right)\left(x+y\right)+1\right]=0$，
$\because x$、$y$、$m$均为正整数，
$\therefore \left(m+1\right)\left(x+y\right)+1\neq 0$，
$\therefore x-y=0$，
$\therefore x=y$，故①错误；
$\because x-y=0$，$x$、$y$均为正整数，
$\therefore x-y$是完全平方数；
故②正确；
由①得$x=y$，对于任意正整数$m$，存在满足上述方程的一组正整数$x$、$y$；
故③正确；
故选：$C$.