B

$\because$菱形$OABC$的顶点$O\left(0,0\right)$，$B\left(2,2\right)$，
$\therefore BO$与$x$轴的夹角为$45^{\circ}$，
$\because$菱形的对角线互相垂直平分，
$\therefore$点$D$是线段$OB$的中点，
$\therefore$点$D$的坐标是$\left(1,1\right)$，
$\because$菱形绕点$O$逆时针旋转，每秒旋转$45^{\circ}$，$360^{\circ}\div 45^{\circ}=8$，
$\therefore$每旋转$8$秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置$\left(1,1\right)$，
$\because 20\div 8=2\cdots \cdots 4$，
$\therefore$第$20$秒时是把菱形绕点$O$逆时针旋转了$2$周回到原来位置后，又旋转了$4$秒，即又旋转了$4\times 45^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore$点$D$的对应点落在第三象限，且对应点与点$D$关于原点$O$成中心对称，
$\therefore$第$20$秒时，菱形的对角线交点$D$的坐标为$\left(-1,-1\right)$.
故选：$B$.