B

如图，将$C_{2}$及直线$y=\sqrt{3}x$绕点$O$逆时针旋转$30^{\circ}$，则得到双曲线$C_{3}$，直线$l$与$y$轴重合.
双曲线$C_{3}$，的解析式为$y=-\frac{6}{x}$，
过点$P$作$PB\bot y$轴于点$B$
$\because PA=PO$
$\therefore B$为$OA$中点.
$\therefore S_{\triangle PAB}=S_{\triangle POB}$
由反比例函数比例系数$k$的性质，$S_{\triangle POB}=3$
$\therefore \triangle POA$的面积是$6$

故选：$B$.