$(1)$①$\because$点$C\left(b,c\right)$，$b=6$，$c=5$，
$\therefore C\left(6,5\right)$，
$\therefore$点$C$到$x$的距离为$5$，
故答案为：$5$；
②证明：$\because a=-5$，$b=6$，$c=5$，
$\therefore A\left(0,-5\right)$，$C\left(6,5\right)$，
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{6k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
$\therefore y=\frac{5}{3}x-5$，
令$y=0$时，$\frac{5}{3}x-5=0$，
解得$x=3$，
$\therefore B\left(3,0\right)$，
$\therefore B$是$AC$的中点；
③过点$B$作$KL$∥$y$轴，过点$C$作$CK\bot KL$交于$K$点，过点$D$作$DL\bot KL$交于$L$点，如图$2$，

$\because \angle CBD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle KBC+\angle LBD=90^{\circ}$，
$\because \angle KCB+\angle KBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle KBC=\angle LBD$，
$\because CB=BD$，
$\therefore \triangle KBC$≌$\triangle LDB\left(AAS\right)$，
$\therefore KC=BL$，$KB=LD$，
$\because KC=3$，$BK=5$，
$\therefore D\left(8,-3\right)$；
$(2)$①连接$PE$、$PF$、$PO$，过点$P$作$PG\bot y$轴交于$G$点，过点$P$作$PH\bot x$轴交于$H$点，如图$3$，

$\because$点$P$为$\triangle EOF$的内角平分线的交点，
$\therefore \angle EFP=\angle PFB$，$\angle FEP=\angle PEA$，$\angle FOP=\angle POM$，
$\because PG\bot OE$，$PH\bot OF$，
$\therefore PG=PH$，
$\because$点$P$的纵坐标为$m$，
$\therefore P\left(-m,m\right)$，
$\because EF=FB=EA$，
$\therefore \triangle EPF$≌$\triangle BPF\left(SAS\right),\triangle EPA$≌$\triangle EPF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle EPF=\angle EPA=\angle FPB$，
$\because \angle EPF=180^{\circ}-\left(\angle EFP+\angle FEP\right)$
$=180^{\circ}-(\frac{1}{2}\angle FEO+\frac{1}{2}\angle EFO)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}\times 90^{\circ}$
$=135^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF=\angle EPA=\angle FPB=135^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=135^{\circ}\times 3-360^{\circ}=45^{\circ}$；
②将$\triangle PHN$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle PGT$，如图$4$，

$\therefore HN=TG$，$\angle HPN=\angle TPG$，
$\because \angle MPN=45^{\circ}$，
$\therefore \angle TPM=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle PMN$≌$\triangle PMT\left(SAS\right)$，
$\therefore TM=MN$，
$\therefore \triangle OMN$的周长$=OM+ON+MN$
$=OM+ON+TM$
$=OM+ON+GM+HN$
$=OG+HO$
$=2GO$
$=2m$.

$(1)$①$\because$点$C\left(b,c\right)$，$b=6$，$c=5$，
$\therefore C\left(6,5\right)$，
$\therefore$点$C$到$x$的距离为$5$，
故答案为：$5$；
②证明：$\because a=-5$，$b=6$，$c=5$，
$\therefore A\left(0,-5\right)$，$C\left(6,5\right)$，
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{6k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
$\therefore y=\frac{5}{3}x-5$，
令$y=0$时，$\frac{5}{3}x-5=0$，
解得$x=3$，
$\therefore B\left(3,0\right)$，
$\therefore B$是$AC$的中点；
③过点$B$作$KL$∥$y$轴，过点$C$作$CK\bot KL$交于$K$点，过点$D$作$DL\bot KL$交于$L$点，如图$2$，

$\because \angle CBD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle KBC+\angle LBD=90^{\circ}$，
$\because \angle KCB+\angle KBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle KBC=\angle LBD$，
$\because CB=BD$，
$\therefore \triangle KBC$≌$\triangle LDB\left(AAS\right)$，
$\therefore KC=BL$，$KB=LD$，
$\because KC=3$，$BK=5$，
$\therefore D\left(8,-3\right)$；
$(2)$①连接$PE$、$PF$、$PO$，过点$P$作$PG\bot y$轴交于$G$点，过点$P$作$PH\bot x$轴交于$H$点，如图$3$，

$\because$点$P$为$\triangle EOF$的内角平分线的交点，
$\therefore \angle EFP=\angle PFB$，$\angle FEP=\angle PEA$，$\angle FOP=\angle POM$，
$\because PG\bot OE$，$PH\bot OF$，
$\therefore PG=PH$，
$\because$点$P$的纵坐标为$m$，
$\therefore P\left(-m,m\right)$，
$\because EF=FB=EA$，
$\therefore \triangle EPF$≌$\triangle BPF\left(SAS\right),\triangle EPA$≌$\triangle EPF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle EPF=\angle EPA=\angle FPB$，
$\because \angle EPF=180^{\circ}-\left(\angle EFP+\angle FEP\right)$
$=180^{\circ}-(\frac{1}{2}\angle FEO+\frac{1}{2}\angle EFO)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}\times 90^{\circ}$
$=135^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF=\angle EPA=\angle FPB=135^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=135^{\circ}\times 3-360^{\circ}=45^{\circ}$；
②将$\triangle PHN$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle PGT$，如图$4$，

$\therefore HN=TG$，$\angle HPN=\angle TPG$，
$\because \angle MPN=45^{\circ}$，
$\therefore \angle TPM=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle PMN$≌$\triangle PMT\left(SAS\right)$，
$\therefore TM=MN$，
$\therefore \triangle OMN$的周长$=OM+ON+MN$
$=OM+ON+TM$
$=OM+ON+GM+HN$
$=OG+HO$
$=2GO$
$=2m$.