如图$1$、$A\left(0,a\right)$,$B$在$x$轴上,点$C\left(b,c\right)$在射线$AB$上.
$(1)$若$a=-5$,$b=6$,$c=5$,
①点$C$到$x$的距离为______；
②求证:点$B$为$AC$的中点；
③如图$2$,点$D$在第四象限,$\angle CBD=90^{\circ}$,$BD=BC$,连接$CD$交$x$轴于点$H$,求点$D$的坐标.
$(2)$如图$3$,点$E$、$F$分别在坐标轴上,$EF=FB=EA$,点$P$为$\triangle EOF$的内角平分线的交点,$AP$、$BP$分别交$x$轴、$y$轴于$N$、$M$两点.
①求$\angle MPN$的度数；
②若点$P$的纵坐标为$m$,求$\triangle OMN$的周长（用含$m$的代数式表示).