当$k\neq 0$时，$b^{2}-4ac=\left(1-k\right)^{2}+4k=\left(1+k\right)^{2}$.
①当$k=0$时，原方程为$x-1=0$，
解得：$x=1$，①不正确；
②当$k=1$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}=4 \gt 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，②不正确；
③当$k=-1$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根，③正确；
④当$k=0$时，同①方程有解；
当$k\neq 0$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}\geqslant 0$，
方程有解.
$\therefore$④正确.
故答案为：①②.

当$k\neq 0$时，$b^{2}-4ac=\left(1-k\right)^{2}+4k=\left(1+k\right)^{2}$.
①当$k=0$时，原方程为$x-1=0$，
解得：$x=1$，①不正确；
②当$k=1$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}=4 \gt 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，②不正确；
③当$k=-1$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根，③正确；
④当$k=0$时，同①方程有解；
当$k\neq 0$时，$b^{2}-4ac=\left(1+k\right)^{2}\geqslant 0$，
方程有解.
$\therefore$④正确.
故答案为：①②.