C

由图象知：
$A$、$t_{1}-t_{2}$时间内物质$a$的温度虽然不变，但继续吸收热量，所以其内能增加，故$A$错误；
$B$、如果$a$、$b$是同种物质，比热容相同，升高相同的温度时，$b$的加热时间长，$b$吸收的热量多，根据$Q=cm\Delta t$知，$b$的质量大于$a$的质量，故$B$错误；
$C$、温度从$T_{1}$升高到$T_{2}$时，$a$物质的加热时间比$b$物质短，所以$a$物质吸收的热量比$b$少，故$C$正确；
$D$、用相同的加热装置对$b$、$c$两种物质加热时，$0-t_{1}$时间内两种物质吸收的热量相同，$c$物质升高的温度较小，$b$、$c$的质量相同，由$Q=cm\Delta t$知，$c$物质的比热容的大，故$D$错误。
故选：$C$。