（1）如图，点$D$即为所求.

$(2)$设线段$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$，则点$D$到$AB$的距离即为$DE$的长.
$\because \angle C=90^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle A=30^{\circ}$.
$\because$点$D$到$A$、$B$的距离相等，即$AD=BD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，
$\therefore BD$为$\angle ABC$的平分线，
$\because \angle C=90^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore DE=CD$.
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle A=30^{\circ}$，
$\therefore AD=2DE$，
$\therefore AD=2CD$，
$\therefore AC=AD+CD=3CD=6$，
$\therefore CD=DE=2$，
$\therefore$点$D$到$AB$的距离为$2$.

（1）如图，点$D$即为所求.

$(2)$设线段$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$，则点$D$到$AB$的距离即为$DE$的长.
$\because \angle C=90^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle A=30^{\circ}$.
$\because$点$D$到$A$、$B$的距离相等，即$AD=BD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，
$\therefore BD$为$\angle ABC$的平分线，
$\because \angle C=90^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore DE=CD$.
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle A=30^{\circ}$，
$\therefore AD=2DE$，
$\therefore AD=2CD$，
$\therefore AC=AD+CD=3CD=6$，
$\therefore CD=DE=2$，
$\therefore$点$D$到$AB$的距离为$2$.