如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$\triangle ABC$的三顶点都在格点上,位置如图.请完成下列问题:
$(1)$画出$\triangle ABC$关于$y$轴的对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}($注意标出对应点字母）；并分别写出点$A_{1}$、点$B_{1}$、点$C_{1}$的坐标；
$(2)$求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的面积；
$(3)$在$x$轴上找一点$P$,使$AP+BP$最小.在图中画出点$P$,并写出点$P$的坐标.(保留作图痕迹,不写作法,写出结论).