$(1)$证明：在平行四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD$，$AB=CD$，
$\therefore \triangle DEC$∽$\triangle AEF$，
$\therefore DE:AE=DC:AF$，
$\because DE=2AE$，
$\therefore DC=2AF$，
$\because$点$H$为$AB$中点，
$\therefore AB=2AH$，
$\therefore 2AF=2AH$，
$\therefore AF=AH$，
$\therefore FH=2AF$，
$\therefore DC=FH$，
$\because DC$∥$FH$，
$\therefore$四边形$CDFH$为平行四边形；
$(2)$与$\triangle ADF$面积相等的三角形有：$\triangle BCH$，$\triangle ACH$，$\triangle ACF$，$\triangle BEF$.
理由如下：由（1）知：$AF=BH$，
$\because \angle FAD=\angle HBC$，$AD=BC$，
$\therefore \triangle AFD$≌$\triangle BHC\left(SAS\right)$，
$\therefore \triangle AFD$的面积$=\triangle BHC$的面积；
$\because AF=AH$，
$\therefore \triangle AFD$的面积$=\triangle AHC$的面积$=\triangle ACF$的面积，
$\because \triangle ABE$的面积$=\triangle ACE$的面积，
$\therefore \triangle BEF$的面积$=\triangle ACF$的面积，
$\therefore \triangle BEF$的面积$=\triangle ADF$的面积.
$\therefore$与$\triangle ADF$面积相等的三角形有：$\triangle BCH$，$\triangle ACH$，$\triangle ACF$，$\triangle BEF$.

$(1)$证明：在平行四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD$，$AB=CD$，
$\therefore \triangle DEC$∽$\triangle AEF$，
$\therefore DE:AE=DC:AF$，
$\because DE=2AE$，
$\therefore DC=2AF$，
$\because$点$H$为$AB$中点，
$\therefore AB=2AH$，
$\therefore 2AF=2AH$，
$\therefore AF=AH$，
$\therefore FH=2AF$，
$\therefore DC=FH$，
$\because DC$∥$FH$，
$\therefore$四边形$CDFH$为平行四边形；
$(2)$与$\triangle ADF$面积相等的三角形有：$\triangle BCH$，$\triangle ACH$，$\triangle ACF$，$\triangle BEF$.
理由如下：由（1）知：$AF=BH$，
$\because \angle FAD=\angle HBC$，$AD=BC$，
$\therefore \triangle AFD$≌$\triangle BHC\left(SAS\right)$，
$\therefore \triangle AFD$的面积$=\triangle BHC$的面积；
$\because AF=AH$，
$\therefore \triangle AFD$的面积$=\triangle AHC$的面积$=\triangle ACF$的面积，
$\because \triangle ABE$的面积$=\triangle ACE$的面积，
$\therefore \triangle BEF$的面积$=\triangle ACF$的面积，
$\therefore \triangle BEF$的面积$=\triangle ADF$的面积.
$\therefore$与$\triangle ADF$面积相等的三角形有：$\triangle BCH$，$\triangle ACH$，$\triangle ACF$，$\triangle BEF$.