A

过点$B$作$BH\bot y$轴于$H$，

在$Rt\triangle ABH$中，$\angle AHB=90^{\circ}$，$\angle BAH=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，$AB=OA=2$，
$\therefore \angle ABH=30^{\circ}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=1，OH=OA+AH=3$，
由勾股定理得$BH=\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{3}，OB=\sqrt{B{H}^{2}+O{H}^{2}}=2\sqrt{3}$，
$\therefore B(\sqrt{3}，3)$，
$\because AB=OA$，$\angle OAB=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=30^{\circ}$，
$\therefore$逆时针旋转$60^{\circ}$后，得$B_{1}(-\sqrt{3}，3)$，以此类推，$B_{2}(-2\sqrt{3}，0)，B_{3}(-\sqrt{3}，-3)，B_{4}(\sqrt{3}，-3)，B_{5}(2\sqrt{3}，0)，…6$次一个循环，
$\because 2024\div 6=337\cdots 2$，
$\therefore$第$2024$次旋转后，点$B$的坐标为$(-2\sqrt{3}，0)$，
故选：$A$.