（1）由根与系数关系得：$m+n=2\left(a+1\right)$，$mn=a^{2}+5$
依题意得：$\left(m-1\right)\left(n-1\right)=28$，
$mn-m-n+1=28$，
$a^{2}+5-2\left(a+1\right)+1=28$，
$a^{2}-2a-24=0$，
解得：$a_{1}=6$，$a_{2}=-4$，
由$\triangle \geqslant 0$得：$\left[-2\left(a+1\right)\right]^{2}-4(a^{2}+5)\geqslant 0$，
$a\geqslant 2$，
$\therefore a=6$；
$(2)$分两种情况：
①当$m=7$或$n=7$时，即方程有一根为$7$，把$x=7$代入方程得：$49-14\left(a+1\right)+a^{2}+5=0$，
整理得$a^{2}-14a+40=0$，解得$a_{1}=10$，$a_{2}=4$，
当$a=10$时，$x_{1}+x_{2}=2\left(a+1\right)=22$，解得$x_{2}=15$，而$7+7 \lt 15$，故舍去；
当$a=4$时，$x_{1}+x_{2}=2\left(a+1\right)=10$，解得$x_{2}=3$，则三角形周长为$3+7+7=17$；
②当$m=n$时，即方程有两个相等实根，$x_{1}=x_{2}$，则$\Delta =0$，$a=2$，方程化为$x^{2}-6x+9=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$，则$3+3 \lt 7$，故舍去，
所以这个三角形的周长为$17$.

（1）由根与系数关系得：$m+n=2\left(a+1\right)$，$mn=a^{2}+5$
依题意得：$\left(m-1\right)\left(n-1\right)=28$，
$mn-m-n+1=28$，
$a^{2}+5-2\left(a+1\right)+1=28$，
$a^{2}-2a-24=0$，
解得：$a_{1}=6$，$a_{2}=-4$，
由$\triangle \geqslant 0$得：$\left[-2\left(a+1\right)\right]^{2}-4(a^{2}+5)\geqslant 0$，
$a\geqslant 2$，
$\therefore a=6$；
$(2)$分两种情况：
①当$m=7$或$n=7$时，即方程有一根为$7$，把$x=7$代入方程得：$49-14\left(a+1\right)+a^{2}+5=0$，
整理得$a^{2}-14a+40=0$，解得$a_{1}=10$，$a_{2}=4$，
当$a=10$时，$x_{1}+x_{2}=2\left(a+1\right)=22$，解得$x_{2}=15$，而$7+7 \lt 15$，故舍去；
当$a=4$时，$x_{1}+x_{2}=2\left(a+1\right)=10$，解得$x_{2}=3$，则三角形周长为$3+7+7=17$；
②当$m=n$时，即方程有两个相等实根，$x_{1}=x_{2}$，则$\Delta =0$，$a=2$，方程化为$x^{2}-6x+9=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$，则$3+3 \lt 7$，故舍去，
所以这个三角形的周长为$17$.