$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle EAG=\angle BEA$，
$\because$将$\triangle ECF$沿$EF$翻折，$C$点的对应点为$G$，点$G$正好落在$AD$上，
$\therefore \angle GEF=\angle CEF$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore \angle GEF+\angle AEG=\angle CEF+\angle BEA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG=\angle BEA$，
$\therefore \angle AEG=\angle EAG$，
$\therefore AG=EG$；
$(2)$证明：$\because$将$\triangle ECF$沿$EF$翻折，$C$点的对应点为$G$，点$G$落在矩形$ABCD$的内部，
$\therefore FC=FG$，$\angle EGF=90^{\circ}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore \angle BAE+\angle AEB=\angle CEF+\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle CEF$，
$\because AE=EF$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ECF\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=CF=FG$，
如图（2），过点$E$作$EM\bot AD$于$M$，连接$EH$、$AF$交$EH$于点$N$，

$\because$四边形$ABEM$是矩形，
$\therefore BE=AM$，$AB=EM$，
$\therefore FG=AM$，$AB=EG=EM$，
$\because AE=EF$，
$\therefore \triangle AME$≌$\triangle FGE\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle AEM=\angle FEG$，
$\because EM\bot AD$，$\angle EGF=90^{\circ}$，$EG=EM$，$EH=EH$，
$\therefore Rt\triangle HME$≌$Rt\triangle HGE\left(HL\right)$，
$\therefore \angle MEH=\angle GEH$，
$\therefore \angle AEH=\angle FEH$，
$\because AE=EF$，$EH=EH$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle FEH\left(SAS\right)$，
$\therefore AH=FH$；
$(3)$连接$AF$，设$AG=EC=x$，$FC=FG=m$，

在$Rt\triangle ADF$中，$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}$，
$\therefore AF^{2}=9^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle ECF$中，$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}$，$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$，
$\therefore AE^{2}=5^{2}+\left(9-x\right)^{2}$，$EF^{2}=x^{2}+m^{2}$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore AF^{2}=AE^{2}+EF^{2}$，
$\therefore 5^{2}+\left(9-x\right)^{2}+x^{2}+m^{2}=9^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
整理得$10m=18x-2x^{2}$①，
在$Rt\triangle GDF$中，$GF^{2}=GD^{2}+DF^{2}$，
$\therefore m^{2}=+\left(9-x\right)^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
整理得$10m=106-18x+x^{2}$②，
由①②得$x=\frac{18±\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore AG=\frac{18±\sqrt{6}}{3}$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle EAG=\angle BEA$，
$\because$将$\triangle ECF$沿$EF$翻折，$C$点的对应点为$G$，点$G$正好落在$AD$上，
$\therefore \angle GEF=\angle CEF$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore \angle GEF+\angle AEG=\angle CEF+\angle BEA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG=\angle BEA$，
$\therefore \angle AEG=\angle EAG$，
$\therefore AG=EG$；
$(2)$证明：$\because$将$\triangle ECF$沿$EF$翻折，$C$点的对应点为$G$，点$G$落在矩形$ABCD$的内部，
$\therefore FC=FG$，$\angle EGF=90^{\circ}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore \angle BAE+\angle AEB=\angle CEF+\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle CEF$，
$\because AE=EF$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ECF\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=CF=FG$，
如图（2），过点$E$作$EM\bot AD$于$M$，连接$EH$、$AF$交$EH$于点$N$，

$\because$四边形$ABEM$是矩形，
$\therefore BE=AM$，$AB=EM$，
$\therefore FG=AM$，$AB=EG=EM$，
$\because AE=EF$，
$\therefore \triangle AME$≌$\triangle FGE\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle AEM=\angle FEG$，
$\because EM\bot AD$，$\angle EGF=90^{\circ}$，$EG=EM$，$EH=EH$，
$\therefore Rt\triangle HME$≌$Rt\triangle HGE\left(HL\right)$，
$\therefore \angle MEH=\angle GEH$，
$\therefore \angle AEH=\angle FEH$，
$\because AE=EF$，$EH=EH$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle FEH\left(SAS\right)$，
$\therefore AH=FH$；
$(3)$连接$AF$，设$AG=EC=x$，$FC=FG=m$，

在$Rt\triangle ADF$中，$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}$，
$\therefore AF^{2}=9^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle ECF$中，$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}$，$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$，
$\therefore AE^{2}=5^{2}+\left(9-x\right)^{2}$，$EF^{2}=x^{2}+m^{2}$，
$\because AE\bot EF$，
$\therefore AF^{2}=AE^{2}+EF^{2}$，
$\therefore 5^{2}+\left(9-x\right)^{2}+x^{2}+m^{2}=9^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
整理得$10m=18x-2x^{2}$①，
在$Rt\triangle GDF$中，$GF^{2}=GD^{2}+DF^{2}$，
$\therefore m^{2}=+\left(9-x\right)^{2}+\left(5-m\right)^{2}$，
整理得$10m=106-18x+x^{2}$②，
由①②得$x=\frac{18±\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore AG=\frac{18±\sqrt{6}}{3}$.