下面是小新同学进行分式化简的过程,请认真阅读.
$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}-\frac{2x+1}{2x-6}$
$=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}-\frac{2x+1}{2x-6}\ldots$第一步,
$=\frac{x+3}{(x-3)}-\frac{2x+1}{2(x-3)}\ldots$第二步,
$=\frac{2(x+3)}{2(x-3)}-\frac{2x+1}{2(x-3)}\ldots$第三步,
$=\frac{2x+6-(2x+1)}{2(x-3)}\ldots$第四步,
$=\frac{2x+6-2x+1}{2(x-3)}\ldots$第五步,
$=\frac{7}{2x-6}\ldots$第六步.
$(1)$第______步开始出现错误,正确的化简结果是______；
$(2)$请从不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞-x}\\{\frac{1}{2}x＜2}\end{array}\right.$的整数解中选择一个合适的值作为$x$的值代入,求出$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}-\frac{2x+1}{2x-6}$的值.