（1）把$A\left(a,2\right)$代入$y=-2x$中，得$-2a=2$，
$\therefore a=-1$，
$\therefore A\left(-1,2\right)$
把$A\left(-1,2\right)$，$B\left(2,0\right)$代入$y=kx+b$中得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
$\therefore k=-\frac{2}{3}$，$b=\frac{4}{3}$，
$\therefore$一次函数的解析式是$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$；

$(2)$设直线$AB$与$Y$轴交于点$C$，则$C(0$，$\frac{4}{3})$
$\therefore S_{\triangle AOC=}\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times 1=\frac{2}{3}$；
$(3)$不等式$\left(k+2\right)x+b\geqslant 0$可以变形为$kx+b\geqslant -2x$，
结合图象得到解集为：$x\geqslant -1$.

（1）把$A\left(a,2\right)$代入$y=-2x$中，得$-2a=2$，
$\therefore a=-1$，
$\therefore A\left(-1,2\right)$
把$A\left(-1,2\right)$，$B\left(2,0\right)$代入$y=kx+b$中得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
$\therefore k=-\frac{2}{3}$，$b=\frac{4}{3}$，
$\therefore$一次函数的解析式是$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$；

$(2)$设直线$AB$与$Y$轴交于点$C$，则$C(0$，$\frac{4}{3})$
$\therefore S_{\triangle AOC=}\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times 1=\frac{2}{3}$；
$(3)$不等式$\left(k+2\right)x+b\geqslant 0$可以变形为$kx+b\geqslant -2x$，
结合图象得到解集为：$x\geqslant -1$.