（1）设$A$型号乒乓球拍的销售单价为$x$元，$B$型号乒乓球拍的销售单价为$y$元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=890}\\{4x+8y=1320}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=130\\ y=100\end{array}\right.$.
答：$A$型号乒乓球拍的销售单价为$130$元，$B$型号乒乓球拍的销售单价为$100$元；
$(2)$设$A$型号乒乓球拍采购$a$块，则$B$型号乒乓球拍采购$\left(20-a\right)$块，
根据题意得：$100a+80\left(20-a\right)\leqslant 1850$，
解得：$a\leqslant 12.5$，
又$\because a$为正整数，
$\therefore a$的最大值为$12$.
答：$A$型号乒乓球拍最多能采购$12$块；
$(3)$根据题意得：$\left(130-100\right)a+\left(100-80\right)\left(20-a\right) \gt 500$，
解得：$a \gt 10$，
又$\because a\leqslant 12.5$，且$a$为正整数，
$\therefore a$可以为$11$，$12$，
$\therefore$共有$2$种采购方案，
方案$1:A$型号乒乓球拍采购$11$块，$B$型号乒乓球拍采购$9$块；
方案$2:A$型号乒乓球拍采购$12$块，$B$型号乒乓球拍采购$8$块.

（1）设$A$型号乒乓球拍的销售单价为$x$元，$B$型号乒乓球拍的销售单价为$y$元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=890}\\{4x+8y=1320}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=130\\ y=100\end{array}\right.$.
答：$A$型号乒乓球拍的销售单价为$130$元，$B$型号乒乓球拍的销售单价为$100$元；
$(2)$设$A$型号乒乓球拍采购$a$块，则$B$型号乒乓球拍采购$\left(20-a\right)$块，
根据题意得：$100a+80\left(20-a\right)\leqslant 1850$，
解得：$a\leqslant 12.5$，
又$\because a$为正整数，
$\therefore a$的最大值为$12$.
答：$A$型号乒乓球拍最多能采购$12$块；
$(3)$根据题意得：$\left(130-100\right)a+\left(100-80\right)\left(20-a\right) \gt 500$，
解得：$a \gt 10$，
又$\because a\leqslant 12.5$，且$a$为正整数，
$\therefore a$可以为$11$，$12$，
$\therefore$共有$2$种采购方案，
方案$1:A$型号乒乓球拍采购$11$块，$B$型号乒乓球拍采购$9$块；
方案$2:A$型号乒乓球拍采购$12$块，$B$型号乒乓球拍采购$8$块.