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八年级数学解答题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC是等边三角形,点DD沿△ABC\triangle ABC的边从点AA运动到点BB,再从点BB运动到点CC,点EE是边BCBC上一点,运动过程中始终满足BD=CEBD=CE.
(1)(1)如图11,当点DD在ABAB边上时,连接AEAE,CDCD相交于点GG.①求证:AE=CDAE=CD.
②求∠CGE\angle CGE的度数.
(2)(2)如图22,当点DD在BCBC边上时,延长ABAB至点FF,使BF=BEBF=BE,连接AEAE,DFDF.判断AEAE与DFDF是否相等?并说明理由.
知识点：全等三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)证明：①如图11，∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，BC=ACBC=AC，
∵BD=CE\because BD=CE，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBD(SAS)\triangle CBD\left(SAS\right)，
∴AE=CD\therefore AE=CD；
②∵△ACE\because \triangle ACE≌△CBD\triangle CBD，
∴∠CAE=∠BCD\therefore \angle CAE=\angle BCD，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60∘\because \angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=60^{\circ}，
∴∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60∘\therefore \angle CGE=\angle ACD+\angle CAE=\angle ACD+\angle BCD=60^{\circ}；
(2)AE=DF(2)AE=DF，理由如下：
如图22，在ABAB上截取AH=BFAH=BF，连接DHDH，可得HF=ABHF=AB，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，AB=AC=BC=HFAB=AC=BC=HF，
∵BF=BE\because BF=BE，BD=CEBD=CE，
∴BH=CE=BD\therefore BH=CE=BD，
∴△BDH\therefore \triangle BDH是等边三角形，
∴∠BHD=∠ACB=60∘\therefore \angle BHD=\angle ACB=60^{\circ}，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△FHD(SAS)\triangle FHD\left(SAS\right)，
∴AE=DF\therefore AE=DF.

解析

(1)(1)证明：①如图11，∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，BC=ACBC=AC，
∵BD=CE\because BD=CE，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△CBD(SAS)\triangle CBD\left(SAS\right)，
∴AE=CD\therefore AE=CD；
②∵△ACE\because \triangle ACE≌△CBD\triangle CBD，
∴∠CAE=∠BCD\therefore \angle CAE=\angle BCD，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60∘\because \angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=60^{\circ}，
∴∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60∘\therefore \angle CGE=\angle ACD+\angle CAE=\angle ACD+\angle BCD=60^{\circ}；
(2)AE=DF(2)AE=DF，理由如下：
如图22，在ABAB上截取AH=BFAH=BF，连接DHDH，可得HF=ABHF=AB，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，AB=AC=BC=HFAB=AC=BC=HF，
∵BF=BE\because BF=BE，BD=CEBD=CE，
∴BH=CE=BD\therefore BH=CE=BD，
∴△BDH\therefore \triangle BDH是等边三角形，
∴∠BHD=∠ACB=60∘\therefore \angle BHD=\angle ACB=60^{\circ}，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△FHD(SAS)\triangle FHD\left(SAS\right)，
∴AE=DF\therefore AE=DF.

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