如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点$D$沿$\triangle ABC$的边从点$A$运动到点$B$,再从点$B$运动到点$C$,点$E$是边$BC$上一点,运动过程中始终满足$BD=CE$.
$(1)$如图$1$,当点$D$在$AB$边上时,连接$AE$,$CD$相交于点$G$.①求证:$AE=CD$.
②求$\angle CGE$的度数.
$(2)$如图$2$,当点$D$在$BC$边上时,延长$AB$至点$F$,使$BF=BE$,连接$AE$,$DF$.判断$AE$与$DF$是否相等?并说明理由.