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八年级数学解答题一般
题目
【作品设计】
如图11,是小明为趣味数学课设计的一个log⁡o\log o.其设计的意思是:三角形具有稳定性,表示大家学习数学的坚定信心,两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性.
【数学原理】
如图22,是小明设计1ogo1ogo时的数学原理图.即将两块形状相同,大小不相同的直角三角形纸片放入⊙O\odot O中,其中∠CAB=∠CED=90∘\angle CAB=\angle CED=90^{\circ},圆心OO在直角边ABAB上.连接COCO并延长,交DEDE于点FF.
【设计制作】
为参加评比,需要把作品制作出来.如果要求作品的BC=20cmBC=20cm,DC=24cmDC=24cm,那么小明觉得需要解决以下问题:问题11:需要找多大的圆形材料.
问题22:需要知道点EE离点BB的距离和点FF离点DD的距离.
【问题解决】
(1)(1)求:⊙O\odot O的半径.
(2)(2)求证:△ECF\triangle ECF∽△EDC.\triangle EDC.
(3)(3)求DFDF的长.
知识点：作图—应用与设计作图章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，圆心OO在边ABAB上，
∴AD=AC=12CD=12×24=12(cm)\therefore AD=AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12(cm).
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，
AB=BC2−AC2=202−122=16(cm)AB=\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}=16(cm).
在Rt△AOCRt\triangle AOC中，
CO2=AO2+AC2CO^{2}=AO^{2}+AC^{2}，
r2=(16−r)2+122r^{2}=\left(16-r\right)^{2}+12^{2}，解得r=252r=\frac{25}{2}.
∴⊙O\therefore \odot O的半径为252cm\frac{25}{2}cm.
(2)(2)证明：∵∠BAC=∠DEC=90∘\because \angle BAC=\angle DEC=90^{\circ}，∠DCE=∠BCA\angle DCE=\angle BCA，
∴∠D=∠B\therefore \angle D=\angle B.
∵CO=BO\because CO=BO，
∴∠B=∠ECF\therefore \angle B=\angle ECF，
∴∠D=∠ECF\therefore \angle D=\angle ECF.
∵∠CEF=∠CED=90∘\because \angle CEF=\angle CED=90^{\circ}，
∴△ECF\therefore \triangle ECF∽△EDC.\triangle EDC.
(3)(3)∵sinB=ACBC=1220=35\because sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}，
∠B=∠D\angle B=\angle D，
∴sinD=CECD=CE24=35\therefore sinD=\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{24}=\frac{3}{5}，解得CE=725CE=\frac{72}{5}.
在Rt△CDERt\triangle CDE中，DE=CD2−CE2=965DE=\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{96}{5}.
∵△ECF\because \triangle ECF∽△EDC\triangle EDC，
∴CEDE=EFCE\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{EF}{CE}，
∴CE2=DE⋅EF\therefore CE^{2}=DE\cdot EF，即(725)2=965×(965−DF){(\frac{72}{5})}^{2}=\frac{96}{5}×(\frac{96}{5}-DF)，
∴DF=425cm\therefore DF=\frac{42}{5}cm.

解析

(1)(1)∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，圆心OO在边ABAB上，
∴AD=AC=12CD=12×24=12(cm)\therefore AD=AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12(cm).
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，
AB=BC2−AC2=202−122=16(cm)AB=\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}=16(cm).
在Rt△AOCRt\triangle AOC中，
CO2=AO2+AC2CO^{2}=AO^{2}+AC^{2}，
r2=(16−r)2+122r^{2}=\left(16-r\right)^{2}+12^{2}，解得r=252r=\frac{25}{2}.
∴⊙O\therefore \odot O的半径为252cm\frac{25}{2}cm.
(2)(2)证明：∵∠BAC=∠DEC=90∘\because \angle BAC=\angle DEC=90^{\circ}，∠DCE=∠BCA\angle DCE=\angle BCA，
∴∠D=∠B\therefore \angle D=\angle B.
∵CO=BO\because CO=BO，
∴∠B=∠ECF\therefore \angle B=\angle ECF，
∴∠D=∠ECF\therefore \angle D=\angle ECF.
∵∠CEF=∠CED=90∘\because \angle CEF=\angle CED=90^{\circ}，
∴△ECF\therefore \triangle ECF∽△EDC.\triangle EDC.
(3)(3)∵sinB=ACBC=1220=35\because sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}，
∠B=∠D\angle B=\angle D，
∴sinD=CECD=CE24=35\therefore sinD=\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{24}=\frac{3}{5}，解得CE=725CE=\frac{72}{5}.
在Rt△CDERt\triangle CDE中，DE=CD2−CE2=965DE=\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{96}{5}.
∵△ECF\because \triangle ECF∽△EDC\triangle EDC，
∴CEDE=EFCE\therefore \frac{CE}{DE}=\frac{EF}{CE}，
∴CE2=DE⋅EF\therefore CE^{2}=DE\cdot EF，即(725)2=965×(965−DF){(\frac{72}{5})}^{2}=\frac{96}{5}×(\frac{96}{5}-DF)，
∴DF=425cm\therefore DF=\frac{42}{5}cm.

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