【作品设计】
如图$1$,是小明为趣味数学课设计的一个$\log o$.其设计的意思是:三角形具有稳定性,表示大家学习数学的坚定信心,两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性.
【数学原理】
如图$2$,是小明设计$1ogo$时的数学原理图.即将两块形状相同,大小不相同的直角三角形纸片放入$\odot O$中,其中$\angle CAB=\angle CED=90^{\circ}$,圆心$O$在直角边$AB$上.连接$CO$并延长,交$DE$于点$F$.
【设计制作】
为参加评比,需要把作品制作出来.如果要求作品的$BC=20cm$,$DC=24cm$,那么小明觉得需要解决以下问题:问题$1$:需要找多大的圆形材料.
问题$2$:需要知道点$E$离点$B$的距离和点$F$离点$D$的距离.
【问题解决】
$(1)$求:$\odot O$的半径.
$(2)$求证:$\triangle ECF$∽$\triangle EDC.$
$(3)$求$DF$的长.