如图，以$BP$的中点$O$为圆心，$OB$为半径画圆，

在矩形$ABCD$中，$AD=BC=4$，$AB=CD=6$，
$\because \angle BCP=90^{\circ}$，
$\therefore$所画圆是$Rt\triangle BCP$的外接圆，
弦$BC$左侧圆弧上任意一点$E$与$BC$构成的$\angle BEC$与$\angle BPC$共弦，
$\therefore \angle BEC=\angle BPC$，
连接$OD$与圆的交点即为$DE$的最短距离，
作$OH\bot DC$于点$H$，
$\therefore H$是$PC$的中点，
$\therefore OH$是$\triangle PBC$的中位线，
$\therefore OH=\frac{1}{2}BC=2$，
$\because P$为$CD$的中点，
$\therefore CP=DP=\frac{1}{2}CD=3$，
$\therefore PH=\frac{1}{2}CP=\frac{3}{2}$，
$\therefore DH=DP+PH=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，
$\therefore OP=\sqrt{O{H}^{2}+P{H}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$，
$\therefore OE=OP=\frac{5}{2}$，
$\because OD=\sqrt{D{H}^{2}+O{H}^{2}}=\sqrt{(\frac{9}{2})^{2}+{2}^{2}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$，
$\therefore DE=OD-OE=\frac{\sqrt{97}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{97}-5}{2}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{97}-5}{2}$.

以$BP$的中点$O$为圆心，$OB$为半径画圆，可得所画圆是$Rt\triangle BCP$的外接圆，弦$BC$左侧圆弧上任意一点$E$与$BC$构成的$\angle BEC$与$\angle BPC$共弦，可得$\angle BEC=\angle BPC$，连接$OD$与圆的交点即为$DE$的最短距离，作$OH\bot DC$于点$H$，可得$OH$是$\triangle PBC$的中位线，根据勾股定理求出$OP$和$OD$的值，进而可得$DE$的最小值.

【点评】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点$E$.

如图，以$BP$的中点$O$为圆心，$OB$为半径画圆，

在矩形$ABCD$中，$AD=BC=4$，$AB=CD=6$，
$\because \angle BCP=90^{\circ}$，
$\therefore$所画圆是$Rt\triangle BCP$的外接圆，
弦$BC$左侧圆弧上任意一点$E$与$BC$构成的$\angle BEC$与$\angle BPC$共弦，
$\therefore \angle BEC=\angle BPC$，
连接$OD$与圆的交点即为$DE$的最短距离，
作$OH\bot DC$于点$H$，
$\therefore H$是$PC$的中点，
$\therefore OH$是$\triangle PBC$的中位线，
$\therefore OH=\frac{1}{2}BC=2$，
$\because P$为$CD$的中点，
$\therefore CP=DP=\frac{1}{2}CD=3$，
$\therefore PH=\frac{1}{2}CP=\frac{3}{2}$，
$\therefore DH=DP+PH=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，
$\therefore OP=\sqrt{O{H}^{2}+P{H}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$，
$\therefore OE=OP=\frac{5}{2}$，
$\because OD=\sqrt{D{H}^{2}+O{H}^{2}}=\sqrt{(\frac{9}{2})^{2}+{2}^{2}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$，
$\therefore DE=OD-OE=\frac{\sqrt{97}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{97}-5}{2}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{97}-5}{2}$.

以$BP$的中点$O$为圆心，$OB$为半径画圆，可得所画圆是$Rt\triangle BCP$的外接圆，弦$BC$左侧圆弧上任意一点$E$与$BC$构成的$\angle BEC$与$\angle BPC$共弦，可得$\angle BEC=\angle BPC$，连接$OD$与圆的交点即为$DE$的最短距离，作$OH\bot DC$于点$H$，可得$OH$是$\triangle PBC$的中位线，根据勾股定理求出$OP$和$OD$的值，进而可得$DE$的最小值.

【点评】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点$E$.