（1）如图$1$，过点$C$作$CH\bot y$轴于$H$.

$\because A\left(-6,0\right)$，$B\left(0,-1\right)$，

$\therefore OA=6$，$OB=1$，

$\because \angle AOB=\angle CHB=\angle ABC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CBH+\angle ABO=90^{\circ}$，$\angle ABO+\angle BAO=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CBH=\angle BAO$，

$\because BA=BC$，

$\therefore \triangle BHC$≌$\triangle AOB\left(AAS\right)$，

$\therefore CH=OB=1$，$BH=OA=6$，

$\therefore OH=BH-OB=5$，

$\therefore C\left(1,-5\right)$.

$(2)$在$B$点运动过程中，$BE$长保持不变，$BE$的长为$3$，

理由：如图$2$，过$C$作$CM\bot y$轴于$M$.

由（1）可知：$\triangle BCM$≌$\triangle ABO$，

$\therefore CM=BO$，$BM=OA=6$，

$\because \triangle BDO$是等腰直角三角形，

$\therefore BO=BD$，$\angle DBO=90^{\circ}$，

$\therefore CM=BD$，$\angle DBE=\angle CME=90^{\circ}$，

在$\triangle DBE$与$\triangle CME$中，

$\left\{\begin{array}{l}{\angle DBE=\angle CME}\\{\angle DEB=\angle CEM}\\{BD=MC}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DBE$≌$\triangle CME\left(AAS\right)$，

$\therefore BE=EM$，

$\therefore BE=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}OA=3$.

$(3)AQ=BN+BO$.

理由：如图，延长$NQ$交$AB$的延长线于$M$，过点$N$作$NH\bot AM$于$H$，交$AQ$于$K$.

$\because OA=NQ$，$\angle AOB=\angle NQK$，$\angle OAB=\angle KNQ$，

$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle NQK\left(ASA\right)$，

$\therefore OB=KQ$，$AB=NK$，

$\because \angle ANK=\angle NAB=45^{\circ}$，$AN=NA$，$NK=AB$，

$\therefore \triangle ANK$≌$\triangle NAB\left(SAS\right)$，

$\therefore AK=BN$，

$\therefore AQ=QK+AK=OB+BN$.

（1）如图$1$，过点$C$作$CH\bot y$轴于$H$.

$\because A\left(-6,0\right)$，$B\left(0,-1\right)$，

$\therefore OA=6$，$OB=1$，

$\because \angle AOB=\angle CHB=\angle ABC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CBH+\angle ABO=90^{\circ}$，$\angle ABO+\angle BAO=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CBH=\angle BAO$，

$\because BA=BC$，

$\therefore \triangle BHC$≌$\triangle AOB\left(AAS\right)$，

$\therefore CH=OB=1$，$BH=OA=6$，

$\therefore OH=BH-OB=5$，

$\therefore C\left(1,-5\right)$.

$(2)$在$B$点运动过程中，$BE$长保持不变，$BE$的长为$3$，

理由：如图$2$，过$C$作$CM\bot y$轴于$M$.

由（1）可知：$\triangle BCM$≌$\triangle ABO$，

$\therefore CM=BO$，$BM=OA=6$，

$\because \triangle BDO$是等腰直角三角形，

$\therefore BO=BD$，$\angle DBO=90^{\circ}$，

$\therefore CM=BD$，$\angle DBE=\angle CME=90^{\circ}$，

在$\triangle DBE$与$\triangle CME$中，

$\left\{\begin{array}{l}{\angle DBE=\angle CME}\\{\angle DEB=\angle CEM}\\{BD=MC}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DBE$≌$\triangle CME\left(AAS\right)$，

$\therefore BE=EM$，

$\therefore BE=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}OA=3$.

$(3)AQ=BN+BO$.

理由：如图，延长$NQ$交$AB$的延长线于$M$，过点$N$作$NH\bot AM$于$H$，交$AQ$于$K$.

$\because OA=NQ$，$\angle AOB=\angle NQK$，$\angle OAB=\angle KNQ$，

$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle NQK\left(ASA\right)$，

$\therefore OB=KQ$，$AB=NK$，

$\because \angle ANK=\angle NAB=45^{\circ}$，$AN=NA$，$NK=AB$，

$\therefore \triangle ANK$≌$\triangle NAB\left(SAS\right)$，

$\therefore AK=BN$，

$\therefore AQ=QK+AK=OB+BN$.