$\because$四边形$OABC$为正方形，点$B$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(2,2\right)$，
设点$E$的纵坐标为$y$，则点$E$的横坐标为$2+y$，
$\therefore y\cdot \left(2+y\right)=4$，
整理得：$y^{2}+2y-4=0$，
解得：$y_{1}=-1+\sqrt{5}$，$y_{2}=-1-\sqrt{5}($舍去），
$\therefore$点$E$的横坐标是：$2-1+\sqrt{5}=1+\sqrt{5}$，
故答案为：$1+\sqrt{5}$.

$\because$四边形$OABC$为正方形，点$B$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(2,2\right)$，
设点$E$的纵坐标为$y$，则点$E$的横坐标为$2+y$，
$\therefore y\cdot \left(2+y\right)=4$，
整理得：$y^{2}+2y-4=0$，
解得：$y_{1}=-1+\sqrt{5}$，$y_{2}=-1-\sqrt{5}($舍去），
$\therefore$点$E$的横坐标是：$2-1+\sqrt{5}=1+\sqrt{5}$，
故答案为：$1+\sqrt{5}$.