（1）水吸收的热量：
$Q_{吸}=cm_{水}(t-t_{0})$
$=4.2\times 10^{3}J/\left(kg\cdot ^{\circ}\mathrm{C}\right)\times 300kg\times \left(100^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C}\right)$
$=1.008\times 10^{8}J$；
$(2)\because$炉子的效率为$20\%$，
$\therefore$煤燃烧放出的热量：
$Q_{放}=\frac{{Q}_{吸}}{η}=\frac{1.008×1{0}^{8}J}{20\%}=5.04\times 10^{8}J$，
$\because Q=mq$，
$\therefore$需要燃烧煤的质量：
$m_{煤}=\frac{{Q}_{放}}{q}=\frac{5.04×1{0}^{8}J}{3.0×1{0}^{7}J/kg}=16.8kg$。
答：（1）水需要吸收了$1.008\times 10^{8}J$的热量；
$(2)$需要完全燃烧$16.8kg$的煤。

（1）水吸收的热量：
$Q_{吸}=cm_{水}(t-t_{0})$
$=4.2\times 10^{3}J/\left(kg\cdot ^{\circ}\mathrm{C}\right)\times 300kg\times \left(100^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C}\right)$
$=1.008\times 10^{8}J$；
$(2)\because$炉子的效率为$20\%$，
$\therefore$煤燃烧放出的热量：
$Q_{放}=\frac{{Q}_{吸}}{η}=\frac{1.008×1{0}^{8}J}{20\%}=5.04\times 10^{8}J$，
$\because Q=mq$，
$\therefore$需要燃烧煤的质量：
$m_{煤}=\frac{{Q}_{放}}{q}=\frac{5.04×1{0}^{8}J}{3.0×1{0}^{7}J/kg}=16.8kg$。
答：（1）水需要吸收了$1.008\times 10^{8}J$的热量；
$(2)$需要完全燃烧$16.8kg$的煤。