A

$A$、物体的内能增大，温度不一定升高；例如，晶体熔化过程和液体沸腾过程，物质不断吸收热量，但是温度不变，故$A$正确；
$B$、一个物体温度升高，可能吸收了热量，也可能是外界对物体做了功，故$B$错误；
$C$、物体吸收热量温度不一定升高，例如：晶体熔化时，吸收热量，温度不变，故$C$错误；
$D$、一个物体内能增大，可能吸收了热量，也可能是外界对物体做了功，故$D$错误。
故选：$A$。