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八年级数学填空题一般
题目
【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第9696页的部分内容.
角平分线的性质定理,角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知:如图11,OCOC是∠AOB\angle AOB的平分线,点PP是OCOC上的任何一点,PD⊥OAPD\bot OA,PE⊥OBPE\bot OB,垂足分别为点DD和点EE.求证:PD=PEPD=PE.
请写出完整的证明过程:…\ldots

(1)(1)请根据教材内容,结合图22,写出"角平分线的性质定理"完整的证明过程.
(2)(2)【应用】如图33,在△ABC\triangle ABC中,∠C=90∘\angle C=90^{\circ},ADAD平分∠BAC\angle BAC,DE⊥ABDE\bot AB于点EE,点FF在ACAC上,BD=DFBD=DF,若AB=14AB=14,AF=8AF=8,则CFCF的长为______.
(3)(3)【拓展】如图44,在△ABC\triangle ABC中,BDBD平分∠ABC\angle ABC交ACAC于点DD,DE⊥BCDE\bot BC于点EE,若∠ABC=60∘\angle ABC=60^{\circ},∠C=45∘\angle C=45^{\circ},DE=4DE=4,BD=6BD=6,则△ABD\triangle ABD的面积为______.
知识点：角平分线的性质章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵OC\because OC是∠AOB\angle AOB的平分线，
∴∠POE=∠POD\therefore \angle POE=\angle POD，
∵PD⊥OA\because PD\bot OA，PE⊥OBPE\bot OB，
∴∠PEO=∠PDO=90∘\therefore \angle PEO=\angle PDO=90^{\circ}，
又∵OP=OP\because OP=OP，
∴△PDO\therefore \triangle PDO≌△PEO(AAS)\triangle PEO\left(AAS\right)，
∴PD=PE\therefore PD=PE；
(2)(2)∵∠C=90∘\because \angle C=90^{\circ}，
∴DC⊥AC\therefore DC\bot AC，
∵AD\because AD平分∠BAC\angle BAC，DE⊥ABDE\bot AB，
同（1）法可得：△ACD\triangle ACD≌△AED(AAS)\triangle AED\left(AAS\right)，
∴AE=AC\therefore AE=AC，DE=DCDE=DC，
∵DE⊥AB\because DE\bot AB，
∴∠DEB=∠C=90∘\therefore \angle DEB=\angle C=90^{\circ}，
又∵BD=DF\because BD=DF，DE=DCDE=DC，
∴Rt△CDF\therefore Rt\triangle CDF≌Rt△EDB(HL)Rt\triangle EDB\left(HL\right)，
∴CF=BE\therefore CF=BE，
∵AB=AE+BE=AC+CF\because AB=AE+BE=AC+CF，AC=AF+CFAC=AF+CF，
∴AB=AF+CF+CF=AF+2CF\therefore AB=AF+CF+CF=AF+2CF，
∵AB=14\because AB=14，AF=8AF=8，
∴14=8+2CF\therefore 14=8+2CF，
∴CF=3\therefore CF=3；
故答案为：33；
(3)(3)过点DD作DF⊥ABDF\bot AB，交ABAB于点FF，如图44，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC交ACAC于点DD，DE⊥BCDE\bot BC，DE=4DE=4，
∴DF=DE=4\therefore DF=DE=4，∠ABD=12∠ABC=30°∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=30°，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，∠C=45∘\angle C=45^{\circ}，
∴∠A=180∘−60∘−45∘=75∘\therefore \angle A=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}，
∴∠ADB=180∘−30∘−75∘=75∘\therefore \angle ADB=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}，
∴∠A=∠ADB\therefore \angle A=\angle ADB，
∵BD=6\because BD=6，
∴AB=BD=6\therefore AB=BD=6，
∴S△ABD=12×6×4=12\therefore {S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×6×4=12；
故答案为：1212.

解析

(1)(1)证明：∵OC\because OC是∠AOB\angle AOB的平分线，
∴∠POE=∠POD\therefore \angle POE=\angle POD，
∵PD⊥OA\because PD\bot OA，PE⊥OBPE\bot OB，
∴∠PEO=∠PDO=90∘\therefore \angle PEO=\angle PDO=90^{\circ}，
又∵OP=OP\because OP=OP，
∴△PDO\therefore \triangle PDO≌△PEO(AAS)\triangle PEO\left(AAS\right)，
∴PD=PE\therefore PD=PE；
(2)(2)∵∠C=90∘\because \angle C=90^{\circ}，
∴DC⊥AC\therefore DC\bot AC，
∵AD\because AD平分∠BAC\angle BAC，DE⊥ABDE\bot AB，
同（1）法可得：△ACD\triangle ACD≌△AED(AAS)\triangle AED\left(AAS\right)，
∴AE=AC\therefore AE=AC，DE=DCDE=DC，
∵DE⊥AB\because DE\bot AB，
∴∠DEB=∠C=90∘\therefore \angle DEB=\angle C=90^{\circ}，
又∵BD=DF\because BD=DF，DE=DCDE=DC，
∴Rt△CDF\therefore Rt\triangle CDF≌Rt△EDB(HL)Rt\triangle EDB\left(HL\right)，
∴CF=BE\therefore CF=BE，
∵AB=AE+BE=AC+CF\because AB=AE+BE=AC+CF，AC=AF+CFAC=AF+CF，
∴AB=AF+CF+CF=AF+2CF\therefore AB=AF+CF+CF=AF+2CF，
∵AB=14\because AB=14，AF=8AF=8，
∴14=8+2CF\therefore 14=8+2CF，
∴CF=3\therefore CF=3；
故答案为：33；
(3)(3)过点DD作DF⊥ABDF\bot AB，交ABAB于点FF，如图44，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC交ACAC于点DD，DE⊥BCDE\bot BC，DE=4DE=4，
∴DF=DE=4\therefore DF=DE=4，∠ABD=12∠ABC=30°∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=30°，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，∠C=45∘\angle C=45^{\circ}，
∴∠A=180∘−60∘−45∘=75∘\therefore \angle A=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}，
∴∠ADB=180∘−30∘−75∘=75∘\therefore \angle ADB=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}，
∴∠A=∠ADB\therefore \angle A=\angle ADB，
∵BD=6\because BD=6，
∴AB=BD=6\therefore AB=BD=6，
∴S△ABD=12×6×4=12\therefore {S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×6×4=12；
故答案为：1212.

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