【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第$96$页的部分内容.
角平分线的性质定理,角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知:如图$1$,$OC$是$\angle AOB$的平分线,点$P$是$OC$上的任何一点,$PD\bot OA$,$PE\bot OB$,垂足分别为点$D$和点$E$.求证:$PD=PE$.
请写出完整的证明过程:$\ldots$

$(1)$请根据教材内容,结合图$2$,写出"角平分线的性质定理"完整的证明过程.
$(2)$【应用】如图$3$,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$,$DE\bot AB$于点$E$,点$F$在$AC$上,$BD=DF$,若$AB=14$,$AF=8$,则$CF$的长为______.
$(3)$【拓展】如图$4$,在$\triangle ABC$中,$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$,$DE\bot BC$于点$E$,若$\angle ABC=60^{\circ}$,$\angle C=45^{\circ}$,$DE=4$,$BD=6$,则$\triangle ABD$的面积为______.