A

连接$DE$，设$\angle BAD$的度数为$x^{\circ}$，
$\because \angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，$E$为对角线$AC$的中点，
$\therefore EA=EB=EC=DE$，
$\therefore \angle DAE=\angle EDA$，$\angle BAE=\angle EBA$，
在$\triangle AED$中，$\angle DEC=\angle DAE+\angle ADE=2\angle DAE$，
同理可得到：$\angle BEC=2\angle BAE$，$\angle DEB=\angle DEC+\angle BEC=2\angle DAE+2\angle BAE=2\left(\angle DAE+\angle BAE\right)=2x^{\circ}$，
在等腰三角形$BED$中，$\angle EBD=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-2x^{\circ})=35^{\circ}$；
解得$x=55$，
$\therefore \angle BAD=55^{\circ}$，
故选：$A$.