B

当$y=0$时，$nx+4n=0$，解得$x=-4$，所以直线$y=nx+4n$与$x$轴的交点坐标为$\left(-4,0\right)$，
当$x \gt -4$时，$nx+4n \gt 0$；
当$x \lt -2$时，$-x+m \gt nx+4n$，
所以当$-4 \lt x \lt -2$时，$-x+m \gt nx+4n \gt 0$，
所以不等式组$-x+m \gt nx+4n \gt 0$的整数解为$x=-3$.
故选：$B$.