A

由图可知两灯串联；闭合开关时两灯均不亮，说明电路中某处断路，或是两灯均短路；
用导线先并联在$L_{1}$两端时，发现$L_{2}$亮，灯$L_{1}$不亮，说明此时电路为通路，两灯泡不可能都短路，$L_{2}$是完好的；
导线并接在$L_{2}$两端时，发现两灯均不亮，说明灯$L_{1}$发生了断路。
故选：$A$。