九年级数学解答题一元一次不等式组的整数解、求概率——列表法和树状图法｜试题答案与解析

九年级数学解答题一般

题目

有三张正面分别标有数字

-1

1

2

的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中任意抽取一张,将该卡片正面上的数字记为

a

；不放回,再从中任意抽取一张,将该卡片正面朝上的数字记为

b

,则使关于

x

的不等式组

\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x-2}{2}＜x+\frac{3}{2}}\\{ax＞b}\end{array}\right.

的解集中有且只有

2

个非负整数的概率为____.

知识点：一元一次不等式组的整数解、求概率——列表法和树状图法章节：未标注

答案与解析

答案

画树状图为：

$\left\{\begin{array}{}\dfrac{3x-2}{2} \lt x+\dfrac{3}{2} ① \\ ax \gt b ②\end{array}\right.$ ，

解①得： $x \lt 5$ ，

当 $a \gt 0$ ，

解②得： $x \gt \dfrac{b}{a}$ ，

根据不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解，

则 $2 \lt x \lt 5$ 时符合要求，

故 $\dfrac{b}{a}=2$ ，

即 $b=2$ ， $a=1$ 符合要求，

当 $a \lt 0$ ，

解②得： $x \lt \dfrac{b}{a}$ ，

根据不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解，

则 $x \lt 2$ 时符合要求，

故 $\dfrac{b}{a}=2$ ，

即 $b=-2$ ， $a=-1($ 舍）

故所有组合中只有 $1$ 种情况符合要求，

故使关于 $x$ 的不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解的概率为： $\dfrac{1}{9}$ ，

故答案为： $\dfrac{1}{9}$ .

解析

画树状图为：

$\left\{\begin{array}{}\dfrac{3x-2}{2} \lt x+\dfrac{3}{2} ① \\ ax \gt b ②\end{array}\right.$ ，

解①得： $x \lt 5$ ，

当 $a \gt 0$ ，

解②得： $x \gt \dfrac{b}{a}$ ，

根据不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解，

则 $2 \lt x \lt 5$ 时符合要求，

故 $\dfrac{b}{a}=2$ ，

即 $b=2$ ， $a=1$ 符合要求，

当 $a \lt 0$ ，

解②得： $x \lt \dfrac{b}{a}$ ，

根据不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解，

则 $x \lt 2$ 时符合要求，

故 $\dfrac{b}{a}=2$ ，

即 $b=-2$ ， $a=-1($ 舍）

故所有组合中只有 $1$ 种情况符合要求，

故使关于 $x$ 的不等式组的解集中有且只有 $2$ 个非负整数解的概率为： $\dfrac{1}{9}$ ，

故答案为： $\dfrac{1}{9}$ .

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