如图$1$,在菱形$ABCD$中,$AB=5$,$BD=8$,动点$P$从点$A$出发,沿着$A-B-C$的路线运动,到达$C$点停止,过点$P$作$PQ$∥$BD$交菱形的另一边于点$Q$.设动点$P$行驶的路程为$x$,点$P$、$Q$的距离为$y$.
$(1)$请直接写出$y$关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围；
$(2)$在给定的平面直角坐标系中画出函数$y$的图象,并写出函数$y$的一条性质；
$(3)$函数$y_1=\frac{1}{2}x+b$与函数$y$只有一个交点,求$b$的取值范围.