C

$\because \triangle ACD$和$\triangle BCE$都是等边三角形，
$\therefore AC=DC$，$EC=BC$，$\angle ACD=\angle BCE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACE=\angle DCB=60^{\circ}+\angle DCE$，
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle DCB\left(SAS\right)$，
$\therefore AE=BD$，$\angle CAE=\angle CDB$，
故①正确；
$\therefore \angle AOB=\angle OAD+\angle ODA=\angle OAD+\angle CDB+\angle ADC=\angle OAD+\angle CAE+\angle ADC=\angle DAC+\angle ADC=120^{\circ}$，
故②正确；
作$CF\bot AE$于点$F$，$CG\bot BD$于点$G$，
$\because S_{\triangle ACE}=S_{\triangle DCB}$，
$\therefore \frac{1}{2}AE\cdot CF=\frac{1}{2}BD\cdot CG$，
$\because AE=BD$，
$\therefore CF=CG$，
$\therefore$点$C$在$\angle AOB$的平分线上，
$\therefore OC$平分$\angle AOB$，
故③正确；
假设$AE\bot BE$成立，则$\angle AEB=90^{\circ}$，
$\because \angle CEB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CEA=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE=\angle BCE-\angle CEA=30^{\circ}$，
$\therefore AC=CE=BC$，
显然与已知条件“$C$是线段$AB$上任意一点”不符，
$\therefore AE\bot BE$不成立，
故④错误，
故选：$C$.