证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB$∥$CD$，$AB=CD$，
$\therefore \angle GAE=\angle HCF$，
$\because$点$G$，$H$分别是$AB$，$CD$的中点，
$\therefore AG=CH$，
在$\triangle AGE$和$\triangle CHF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠GAE=∠HCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AGE$≌$\triangle CHF\left(SAS\right)$，
$\therefore GE=HF$，$\angle AEG=\angle CFH$，
$\therefore \angle GEF=\angle HFE$，
$\therefore GE$∥$HF$，
又$\because GE=HF$，
$\therefore$四边形$EGFH$是平行四边形.

证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB$∥$CD$，$AB=CD$，
$\therefore \angle GAE=\angle HCF$，
$\because$点$G$，$H$分别是$AB$，$CD$的中点，
$\therefore AG=CH$，
在$\triangle AGE$和$\triangle CHF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠GAE=∠HCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AGE$≌$\triangle CHF\left(SAS\right)$，
$\therefore GE=HF$，$\angle AEG=\angle CFH$，
$\therefore \angle GEF=\angle HFE$，
$\therefore GE$∥$HF$，
又$\because GE=HF$，
$\therefore$四边形$EGFH$是平行四边形.