C

$A$、金属导体中定向移动的是电子，故$A$错误；
$B$、$A$中的一部分电子只是中和了$B$的一部分正电荷，$B$还是带有正电荷，只是电量变少，故$B$错误；
$C$、$A$中的电子流向$B$，故$A$带上正电，同时由于电流方向规定为正电荷定向移动的方向，与电子方向相反，故棒中有瞬间电流从$B$流向$A$，故$C$正确；
$D$、$A$中的电子流向$B$，故$A$带上正电，同时由于电流方向规定为正电荷定向移动的方向，与电子方向相反，故棒中有瞬间电流从$B$流向$A$，故$D$错误；
故选：$C$。