$(1)$如图所示，线段$BO$为$AC$边上的中线；
$(2)$证明：$\because$点$O$是$AC$的中点，
$\therefore AO=CO$，
$\because$将中线$BO$绕点$O$逆时针旋转$180^{\circ}$得到$DO$，
$\therefore BO=DO$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCD$是矩形.

$(1)$如图所示，线段$BO$为$AC$边上的中线；
$(2)$证明：$\because$点$O$是$AC$的中点，
$\therefore AO=CO$，
$\because$将中线$BO$绕点$O$逆时针旋转$180^{\circ}$得到$DO$，
$\therefore BO=DO$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCD$是矩形.