题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学解答题一般
题目
已知在平面直角坐标系中,点AA的坐标是(0,2)\left(0,2\right),点PP是第一象限内一动点.
(1)(1)①:如图①.若动点P(a,b)P\left(a,b\right)满足∣3a−9∣+(3−b)2=0|3a-9|+\left(3-b\right)^{2}=0,且PA⊥PBPA\bot PB,求点BB的坐标.
②:如图②,在第（1）问的条件下,将∠APB\angle APB逆时针旋转至如图∠CPD\angle CPD所示位置,求OD−OCOD-OC的值.
(2)(2)如图③,若点AA与点A\’{A\’}关于xx轴对称,且BM⊥PA\’BM\bot PA\’,若动点PP满足∠APA\’=2∠OBA\’\angle APA\’=2\angle OBA\’,问:PA′−PAPM\frac{{P{A′}-PA}}{{PM}}的值是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变化,请求出其值.
知识点：绝对值的性质、二次根式、点的坐标、非负数的性质：偶次方、三角形的面积章节：未标注

答案与解析

答案

（1）①如图①中，作PE⊥OAPE\bot OA于EE，PF⊥OBPF\bot OB于FF.

∵∣3a−9∣+(3−b)2=0\because |3a-9|+\left(3-b\right)^{2}=0，
又∵∣3a−9∣⩾0\because |3a-9|\geqslant 0，(3−b)2⩾0\left(3-b\right)^{2}\geqslant 0，
∴3a−9=0\therefore 3a-9=0，3−b=03-b=0，
∴a=b=3\therefore a=b=3.
∴PE=PF=3\therefore PE=PF=3，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90∘\because \angle PEO=\angle PFO=\angle EOF=90^{\circ}，
∴\therefore四边形PEOFPEOF是矩形，
∵PE=PF\because PE=PF，
∴\therefore四边形PEOFPEOF是正方形，
∴∠EPF=∠APB=90∘\therefore \angle EPF=\angle APB=90^{\circ}，PE=OF=3PE=OF=3，
∴∠APE=∠BPF\therefore \angle APE=\angle BPF，
∵∠PEA=∠PFB=90∘\because \angle PEA=\angle PFB=90^{\circ}，
∴△PEA\therefore \triangle PEA≌△PFB(ASA)\triangle PFB\left(ASA\right)，
∴AE=FB\therefore AE=FB，
∵A(0,2)\because A\left(0,2\right)，
∴OA=2\therefore OA=2，
∴AE=BF=1\therefore AE=BF=1，
∴OB=4\therefore OB=4，
∴B(4,0)\therefore B\left(4,0\right).

②如图②中，

由①可知∠PAC=∠PBD\angle PAC=\angle PBD，PA=PBPA=PB，
∵∠APB=∠CPD\because \angle APB=\angle CPD，
∴∠APC=∠BPD\therefore \angle APC=\angle BPD，
∴△APC\therefore \triangle APC≌△BPD(ASA)\triangle BPD\left(ASA\right)，
∴AC=BD\therefore AC=BD，
∴OD−OC=OB+BD−(AC−OA)=BO+OA=4+2=6\therefore OD-OC=OB+BD-\left(AC-OA\right)=BO+OA=4+2=6.

(2)(2)如图33中，作BE⊥APBE\bot AP交APAP的延长线于EE，ABAB交PA\’PA\’于NN.

∵OA=OA\’\because OA=OA\’，OB⊥AA\’OB\bot AA\’，
∴BA=BA\’\therefore BA=BA\’，
∴∠OBA=∠OBA\’\therefore \angle OBA=\angle OBA\’，
∵∠APA\’=2∠OBA\’\because \angle APA\’=2\angle OBA\’，
∴∠APN=∠A\’BN\therefore \angle APN=\angle {A\’}BN，
∴∠EAB=∠BA\’M\therefore \angle EAB=\angle BA\’M，
∵BM⊥PA\’\because BM\bot PA\’，BE⊥AEBE\bot AE，
∴∠A\’MB=∠E=90∘\therefore \angle {A\’}MB=\angle E=90^{\circ}，
∴△A\’MB\therefore \triangle {A\’}MB≌△AEB(AAS)\triangle AEB\left(AAS\right)，
∴BE=BM\therefore BE=BM，AE=A\’MAE={A\’}M，
∵PB=PB\because PB=PB，∠BMP=∠E=90∘\angle BMP=\angle E=90^{\circ}，
∴Rt△PBM\therefore Rt\triangle PBM≌Rt△PBE(HL)Rt\triangle PBE\left(HL\right)，
∴PM=PE\therefore PM=PE，
∴PA\’−PA=PM+A\’M−(AE−PE)=2PM\therefore PA\’-PA=PM+{A\’}M-\left(AE-PE\right)=2PM，
∴PA′−PAPM=2\therefore \frac{PA′-PA}{PM}=2.

解析

（1）①如图①中，作PE⊥OAPE\bot OA于EE，PF⊥OBPF\bot OB于FF.

∵∣3a−9∣+(3−b)2=0\because |3a-9|+\left(3-b\right)^{2}=0，
又∵∣3a−9∣⩾0\because |3a-9|\geqslant 0，(3−b)2⩾0\left(3-b\right)^{2}\geqslant 0，
∴3a−9=0\therefore 3a-9=0，3−b=03-b=0，
∴a=b=3\therefore a=b=3.
∴PE=PF=3\therefore PE=PF=3，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90∘\because \angle PEO=\angle PFO=\angle EOF=90^{\circ}，
∴\therefore四边形PEOFPEOF是矩形，
∵PE=PF\because PE=PF，
∴\therefore四边形PEOFPEOF是正方形，
∴∠EPF=∠APB=90∘\therefore \angle EPF=\angle APB=90^{\circ}，PE=OF=3PE=OF=3，
∴∠APE=∠BPF\therefore \angle APE=\angle BPF，
∵∠PEA=∠PFB=90∘\because \angle PEA=\angle PFB=90^{\circ}，
∴△PEA\therefore \triangle PEA≌△PFB(ASA)\triangle PFB\left(ASA\right)，
∴AE=FB\therefore AE=FB，
∵A(0,2)\because A\left(0,2\right)，
∴OA=2\therefore OA=2，
∴AE=BF=1\therefore AE=BF=1，
∴OB=4\therefore OB=4，
∴B(4,0)\therefore B\left(4,0\right).

②如图②中，

由①可知∠PAC=∠PBD\angle PAC=\angle PBD，PA=PBPA=PB，
∵∠APB=∠CPD\because \angle APB=\angle CPD，
∴∠APC=∠BPD\therefore \angle APC=\angle BPD，
∴△APC\therefore \triangle APC≌△BPD(ASA)\triangle BPD\left(ASA\right)，
∴AC=BD\therefore AC=BD，
∴OD−OC=OB+BD−(AC−OA)=BO+OA=4+2=6\therefore OD-OC=OB+BD-\left(AC-OA\right)=BO+OA=4+2=6.

(2)(2)如图33中，作BE⊥APBE\bot AP交APAP的延长线于EE，ABAB交PA\’PA\’于NN.

∵OA=OA\’\because OA=OA\’，OB⊥AA\’OB\bot AA\’，
∴BA=BA\’\therefore BA=BA\’，
∴∠OBA=∠OBA\’\therefore \angle OBA=\angle OBA\’，
∵∠APA\’=2∠OBA\’\because \angle APA\’=2\angle OBA\’，
∴∠APN=∠A\’BN\therefore \angle APN=\angle {A\’}BN，
∴∠EAB=∠BA\’M\therefore \angle EAB=\angle BA\’M，
∵BM⊥PA\’\because BM\bot PA\’，BE⊥AEBE\bot AE，
∴∠A\’MB=∠E=90∘\therefore \angle {A\’}MB=\angle E=90^{\circ}，
∴△A\’MB\therefore \triangle {A\’}MB≌△AEB(AAS)\triangle AEB\left(AAS\right)，
∴BE=BM\therefore BE=BM，AE=A\’MAE={A\’}M，
∵PB=PB\because PB=PB，∠BMP=∠E=90∘\angle BMP=\angle E=90^{\circ}，
∴Rt△PBM\therefore Rt\triangle PBM≌Rt△PBE(HL)Rt\triangle PBE\left(HL\right)，
∴PM=PE\therefore PM=PE，
∴PA\’−PA=PM+A\’M−(AE−PE)=2PM\therefore PA\’-PA=PM+{A\’}M-\left(AE-PE\right)=2PM，
∴PA′−PAPM=2\therefore \frac{PA′-PA}{PM}=2.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →