《九章算术》卷九"勾股"中记载:今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何.大意是:如图,水池底面的宽$AB=1$丈,芦苇$OC$生长在$AB$的中点$O$处,高出水面的部分$CD=1$尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即$OC=OE$,求水池的深度和芦苇的长度$(1$丈等于$10$尺).
$(1)$求水池的深度$OD$；
$(2)$中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽$AB=2a$,芦苇高出水面的部分$CD=n\left(n \lt a\right)$,则水池的深度$OD\left(OD=b\right)$可以通过公式$b=\frac{a^2-n^2}{2n}$计算得到.请证明刘徽解法的正确性.