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九年级数学解答题一般
题目
《九章算术》卷九"勾股"中记载:今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何.大意是:如图,水池底面的宽AB=1AB=1丈,芦苇OCOC生长在ABAB的中点OO处,高出水面的部分CD=1CD=1尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即OC=OEOC=OE,求水池的深度和芦苇的长度(1(1丈等于1010尺).
(1)(1)求水池的深度ODOD；
(2)(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽AB=2aAB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n<a)CD=n\left(n \lt a\right),则水池的深度OD(OD=b)OD\left(OD=b\right)可以通过公式b=a2−n22nb=\frac{a^2-n^2}{2n}计算得到.请证明刘徽解法的正确性.
知识点：勾股定理的应用章节：未标注

答案与解析

答案

（1）设芦苇的长度xx尺，
则图中OC=OE=xOC=OE=x，则OD=x−1OD=x-1，DE=5DE=5，
在Rt△ODERt\triangle ODE中，∠ODE=90∘\angle ODE=90^{\circ}，
由勾股定理得DE2+OD2=OE2DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.
∴52+(x−1)2=x2\therefore 5^{2}+\left(x-1\right)^{2}=x^{2}，
解得x=13x=13，
∴OD=13−1=12\therefore OD=13-1=12
答：芦苇的长度为1313尺，水池的深度为1212尺；
(2)(2)图中OD=bOD=b，CD=nCD=n，AB=2aAB=2a，则OC=OE=b+nOC=OE=b+n，DE=aDE=a，
在Rt△ODERt\triangle ODE中，∠ODE=90∘\angle ODE=90^{\circ}，
由勾股定理得DE2+OD2=OE2DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.
∴a2+b2=(b+n)2\therefore a^{2}+b^{2}=\left(b+n\right)^{2}，
解得b=a2−n22nb=\frac{{a}^{2}-{n}^{2}}{2n}.

解析

（1）设芦苇的长度xx尺，
则图中OC=OE=xOC=OE=x，则OD=x−1OD=x-1，DE=5DE=5，
在Rt△ODERt\triangle ODE中，∠ODE=90∘\angle ODE=90^{\circ}，
由勾股定理得DE2+OD2=OE2DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.
∴52+(x−1)2=x2\therefore 5^{2}+\left(x-1\right)^{2}=x^{2}，
解得x=13x=13，
∴OD=13−1=12\therefore OD=13-1=12
答：芦苇的长度为1313尺，水池的深度为1212尺；
(2)(2)图中OD=bOD=b，CD=nCD=n，AB=2aAB=2a，则OC=OE=b+nOC=OE=b+n，DE=aDE=a，
在Rt△ODERt\triangle ODE中，∠ODE=90∘\angle ODE=90^{\circ}，
由勾股定理得DE2+OD2=OE2DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.
∴a2+b2=(b+n)2\therefore a^{2}+b^{2}=\left(b+n\right)^{2}，
解得b=a2−n22nb=\frac{{a}^{2}-{n}^{2}}{2n}.

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