$\left(1\right)\because \sqrt{36}＜\sqrt{46}＜\sqrt{49}$，
$\therefore 6＜\sqrt{46}＜7$，
$\because \sqrt{46}$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，
$\therefore a=6$，
$\because -3$是$b$的一个平方根，
$\therefore b=\left(-3\right)^{2}=9$，
$\because 3a-c$的立方根是$2$，
$\therefore 3a-c=8$，而$a=6$，
$\therefore 18-c=8$，
$\therefore c=10$，
即$a=6$，$b=9$，$c=10$；
$(2)$由（1）可得$c$的负的平方根是$-\sqrt{10}$，$a-b=6-9=-3$，
$\because \sqrt{9} \lt \sqrt{10} \lt \sqrt{16}$，
$\therefore 3 \lt \sqrt{10} \lt 4$，
$\therefore -4 \lt -\sqrt{10} \lt -3$，
即$-\sqrt{10}＜-3$.
$\therefore c$的负的平方根$\lt a-b$.

$\left(1\right)\because \sqrt{36}＜\sqrt{46}＜\sqrt{49}$，
$\therefore 6＜\sqrt{46}＜7$，
$\because \sqrt{46}$在两个连续的自然数$a$和$a+1$之间，
$\therefore a=6$，
$\because -3$是$b$的一个平方根，
$\therefore b=\left(-3\right)^{2}=9$，
$\because 3a-c$的立方根是$2$，
$\therefore 3a-c=8$，而$a=6$，
$\therefore 18-c=8$，
$\therefore c=10$，
即$a=6$，$b=9$，$c=10$；
$(2)$由（1）可得$c$的负的平方根是$-\sqrt{10}$，$a-b=6-9=-3$，
$\because \sqrt{9} \lt \sqrt{10} \lt \sqrt{16}$，
$\therefore 3 \lt \sqrt{10} \lt 4$，
$\therefore -4 \lt -\sqrt{10} \lt -3$，
即$-\sqrt{10}＜-3$.
$\therefore c$的负的平方根$\lt a-b$.