$\left(1\right)\because 2a+3$的立方根是$3$，
$\therefore 2a+3=27$，
$\therefore a=12$；
$\because a+b-2$的算术平方根是$5$，
$\therefore a+b-2=25$，
又$\because a=12$，
$\therefore b=15$，
把$a=12$，$b=15$代入$a+b+9$中得：$12+15+9=36$，
$\because \left(\pm 6\right)^{2}=36$，
$\therefore a+b+9$的平方根是$\pm 6$；
$(2)a^{2}(b-3)+4\left(3-b\right)$
$=a^{2}(b-3)-4\left(b-3\right)$
$=\left(b-3\right)(a^{2}-4)$
$=\left(b-3\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)$.

$\left(1\right)\because 2a+3$的立方根是$3$，
$\therefore 2a+3=27$，
$\therefore a=12$；
$\because a+b-2$的算术平方根是$5$，
$\therefore a+b-2=25$，
又$\because a=12$，
$\therefore b=15$，
把$a=12$，$b=15$代入$a+b+9$中得：$12+15+9=36$，
$\because \left(\pm 6\right)^{2}=36$，
$\therefore a+b+9$的平方根是$\pm 6$；
$(2)a^{2}(b-3)+4\left(3-b\right)$
$=a^{2}(b-3)-4\left(b-3\right)$
$=\left(b-3\right)(a^{2}-4)$
$=\left(b-3\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)$.