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八年级数学填空题一般
题目
如图.APAP平分∠BAC\angle BAC,CPCP平分∠ACD\angle ACD,∠1+∠2=90∘\angle 1+\angle 2=90^{\circ}判断ABAB,CDCD是否平行,并说明理由.

(1)(1)条件和结论互换,改成了:"如图,APAP平分∠BAC\angle BAC,CPCP平分∠ACD,AB\angle ACD,AB∥CD,CD,则∠1+∠2=90∘\angle 1+\angle 2=90^{\circ}."
小明认为这个结论正确,你赞同他的想法吗?请说明理由.
(2)(2)小明发现:若将其中一条角平分线改成ACAC的垂线,则"∠1+∠2=90∘\angle 1+\angle 2=90^{\circ}"这个结论不成立.请帮小明完成探究:
如图1,AB1,AB∥CDCD,APAP平分∠BAC\angle BAC,CP⊥ACCP\bot AC,∠1\angle 1是APAP与ABAB的夹角,∠2\angle 2是CPCP与CDCD的夹角,
①若∠2=22∘\angle 2=22^{\circ},求∠1\angle 1的度数；
②试说明:2∠1−∠2=90∘2\angle 1-\angle 2=90^{\circ}.
(3)(3)如图22.若ABAB∥CDCD,AP⊥ACAP\bot AC,CPCP平分∠ACD\angle ACD,请直接写出∠1\angle 1与∠2\angle 2的等量关系______.
知识点：平行线的判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

(1)∵AP\left(1\right)\because AP平分∠BAC\angle BAC，CPCP平分∠ACD\angle ACD，∠1+∠2=90∘\angle 1+\angle 2=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=2\angle 1+2\angle 2=2\left(\angle 1+\angle 2\right)=180^{\circ}，
∴AB\therefore AB∥CD.CD.
赞同他的说法，理由如下：
∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，CPCP平分∠ACD\angle ACD，
∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC，∠2=\frac{1}{2}∠ACD，
∴∠1+∠2=12(∠BAC+∠ACD)=90°\therefore ∠1+∠2=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ACD)=90°，
(2)(2)①∵CP⊥AC\because CP\bot AC，
∴∠ACP=90∘\therefore \angle ACP=90^{\circ}，
∵∠2=22∘\because \angle 2=22^{\circ}，∠2+∠ACD=∠ACP\angle 2+\angle ACD=\angle ACP，
∴∠ACD=∠ACP−∠2=68∘\therefore \angle ACD=\angle ACP-\angle 2=68^{\circ}，
∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∴∠BAC=180∘−∠ACD=112∘\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ACD=112^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，
∴∠1=12∠BAC=56°\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC=56°.
②∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，
∴∠BAC=2∠1\therefore \angle BAC=2\angle 1，
∴2∠1+∠ACD=180∘\therefore 2\angle 1+\angle ACD=180^{\circ}，
∵∠ACD=90∘−∠2\because \angle ACD=90^{\circ}-\angle 2，
∴2∠1+90∘−∠2=180∘\therefore 2\angle 1+90^{\circ}-\angle 2=180^{\circ}，
∴2∠1−∠2=90∘\therefore 2\angle 1-\angle 2=90^{\circ}.
(3)∵AB(3)\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵CP\because CP平分∠ACD\angle ACD，
∴∠ACD=2∠2\therefore \angle ACD=2\angle 2，
∵AP⊥AC\because AP\bot AC，
∴∠PAC=90∘\therefore \angle PAC=90^{\circ}，
∴∠BAC=∠PAC+∠1=90∘+∠1\therefore \angle BAC=\angle PAC+\angle 1=90^{\circ}+\angle 1，
∴∠BAC+∠ACD=90∘+∠1+2∠2=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=90^{\circ}+\angle 1+2\angle 2=180^{\circ}，
∴∠1+2∠2=90∘\therefore \angle 1+2\angle 2=90^{\circ}.

解析

(1)∵AP\left(1\right)\because AP平分∠BAC\angle BAC，CPCP平分∠ACD\angle ACD，∠1+∠2=90∘\angle 1+\angle 2=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=2\angle 1+2\angle 2=2\left(\angle 1+\angle 2\right)=180^{\circ}，
∴AB\therefore AB∥CD.CD.
赞同他的说法，理由如下：
∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，CPCP平分∠ACD\angle ACD，
∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC，∠2=\frac{1}{2}∠ACD，
∴∠1+∠2=12(∠BAC+∠ACD)=90°\therefore ∠1+∠2=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ACD)=90°，
(2)(2)①∵CP⊥AC\because CP\bot AC，
∴∠ACP=90∘\therefore \angle ACP=90^{\circ}，
∵∠2=22∘\because \angle 2=22^{\circ}，∠2+∠ACD=∠ACP\angle 2+\angle ACD=\angle ACP，
∴∠ACD=∠ACP−∠2=68∘\therefore \angle ACD=\angle ACP-\angle 2=68^{\circ}，
∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∴∠BAC=180∘−∠ACD=112∘\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ACD=112^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，
∴∠1=12∠BAC=56°\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC=56°.
②∵AB\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵AP\because AP平分∠BAC\angle BAC，
∴∠BAC=2∠1\therefore \angle BAC=2\angle 1，
∴2∠1+∠ACD=180∘\therefore 2\angle 1+\angle ACD=180^{\circ}，
∵∠ACD=90∘−∠2\because \angle ACD=90^{\circ}-\angle 2，
∴2∠1+90∘−∠2=180∘\therefore 2\angle 1+90^{\circ}-\angle 2=180^{\circ}，
∴2∠1−∠2=90∘\therefore 2\angle 1-\angle 2=90^{\circ}.
(3)∵AB(3)\because AB∥CDCD，
∴∠BAC+∠ACD=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=180^{\circ}，
∵CP\because CP平分∠ACD\angle ACD，
∴∠ACD=2∠2\therefore \angle ACD=2\angle 2，
∵AP⊥AC\because AP\bot AC，
∴∠PAC=90∘\therefore \angle PAC=90^{\circ}，
∴∠BAC=∠PAC+∠1=90∘+∠1\therefore \angle BAC=\angle PAC+\angle 1=90^{\circ}+\angle 1，
∴∠BAC+∠ACD=90∘+∠1+2∠2=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACD=90^{\circ}+\angle 1+2\angle 2=180^{\circ}，
∴∠1+2∠2=90∘\therefore \angle 1+2\angle 2=90^{\circ}.

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