C

$A$、由电路图可知，开关$S_{1}$闭合，$S_{2}$断开，电源外部电流流向为$d\rightarrow c\rightarrow b\rightarrow a$，故$A$错误；
$B$、开关$S_{1}$、$S_{2}$都闭合，$L_{1}$与$L_{2}$并联，由于不知道两灯泡的规格，所以不能判断通过灯泡$L_{1}$与$L_{2}$的电流大小关系，故$B$错误；
$C$、由电路图可知，开关$S_{1}$、$S_{2}$都闭合，$L_{1}$与$L_{2}$首首相连、尾尾相连，则两灯是并联的，故$C$正确；
$D$、由图知，开关$S_{1}$在干路上，控制所有用电器，开关$S_{2}$只控制灯泡$L_{1}$；当只闭合$S_{1}$时，灯泡$L_{2}$发光；只闭合$S_{2}$时，两灯泡都不发光，故$D$错误。
故选：$C$。