D

$\because AB$∥$x$轴，点$A$的坐标为$\left(1,2\right)$，
$\therefore$点$B$的纵坐标为$2$，
$\because AB=5$，
$\therefore$点$B$在点$A$的左边时，横坐标为$1-5=-4$，
点$B$在点$A$的右边时，横坐标为$1+5=6$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(-4,2\right)$或$\left(6,2\right)$.
故选：$D$.