$\because$点$B$在反比例函数$y_{1}=\frac{4}{x}(x \gt 0)$的图象上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$B(a，\frac{4}{a})$，
$\because BC$∥$x$轴，
$\therefore$点$C$的纵坐标为$\frac{4}{a}$，$BC$于$x$轴之间的距离为$\frac{4}{a}$，
又$\because$点$C$在反比例函数$y_{2}=\frac{k}{x}(x \lt 0)$的图象上，
$\therefore$点$C$的坐标为$(\frac{ak}{4}，\frac{4}{a})$，
$\therefore BC=a-\frac{ak}{4}=\frac{4a-ak}{4}$，
$\because \triangle ABC$的面积为$3$，
$\therefore \frac{1}{2}×\frac{4a-ak}{4}×\frac{4}{a}=3$，
解得：$k=-2$.
故答案为：$-2$.

$\because$点$B$在反比例函数$y_{1}=\frac{4}{x}(x \gt 0)$的图象上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$B(a，\frac{4}{a})$，
$\because BC$∥$x$轴，
$\therefore$点$C$的纵坐标为$\frac{4}{a}$，$BC$于$x$轴之间的距离为$\frac{4}{a}$，
又$\because$点$C$在反比例函数$y_{2}=\frac{k}{x}(x \lt 0)$的图象上，
$\therefore$点$C$的坐标为$(\frac{ak}{4}，\frac{4}{a})$，
$\therefore BC=a-\frac{ak}{4}=\frac{4a-ak}{4}$，
$\because \triangle ABC$的面积为$3$，
$\therefore \frac{1}{2}×\frac{4a-ak}{4}×\frac{4}{a}=3$，
解得：$k=-2$.
故答案为：$-2$.