在日历上,我们可以发现其中某些满足一定的规律,如图①是$2024$年$9$月份的日历,用如图所示的"$Z$"字型框架任意框住月历中的$5$个数（如图①中的阴影部分）,如图②,将"$Z$"字型框位置$B$、$D$上的数相乘,位置$A$、$E$上的数相乘,再相减,例如:在图①中,$9\times 23-8\times 24=15$,$6\times 20-5\times 21=15$,不难发现,结果都等于$15$.
如图②,设日历中所示图形中位置$C$的数字为$x$.
$(1)$图②框中其余四个数用含$x$的代数式可以表示为$A:$______,$B:$______,$D:$______,$E:\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$用含$x$的式子表示发现的规律______.
$(3)$利用整式的运算对（2）中的规律加以证明.
$(4)$如图②,在某月历中,"$Z$"字型框框住部分（阴影部分$)5$个位置上的数,若最小的数和最大的数的乘积为$57$,则中间$C$位置上的数为______.