在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$的顶点坐标分别为$A\left(0,2\right)$、$B\left(1,3\right)$、$C\left(2,1\right)$.
$(1)$在坐标系中画出$\triangle ABC$关于$y$轴的对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
$(2)$在坐标系中原点$O$的异侧,画出以$O$为位似中心与$\triangle ABC$位似比为$2$的位似图形$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,并写出点$C_{2}$的坐标；
$(3)$求出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的面积.