如图，连结$AC$，$BD$交于点$O$，连结$OQ$.
在矩形$ABCD$中，$OA=OC=OB=OD$，
$\because AB=4.BC=4\sqrt{3}$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=64$.
$\therefore AC=8(-8$不合题意舍去)。
$\therefore AO=OB=AB=4$，
$\therefore \triangle AOB$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC=60^{\circ}$，
$\because$线段$AP$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$AQ$，
$\therefore AP=AQ$，$\angle PAQ=60^{\circ}$，
$\because \angle BAC=\angle PAQ$，
$\therefore \angle BAP=\angle CAQ$，
$\because$又$AB=AO$，$AP=AQ$，
$\therefore \triangle ABP$≌$\triangle AOQ\left(SAS\right).$
$\therefore \angle ABP=\angle AOQ=90^{\circ}$，
$\because O$为$AC$的中点，
$\therefore OQ$垂直平分$AC$，
$\therefore AQ=CQ$.
$\because \angle BCQ=\angle DCQ$，
而$\angle BCQ+\angle DCQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle QCB=45^{\circ}$，
而$PQ=CQ$，
$\therefore \angle PQC=90^{\circ}$，
设$PB=x$，则$CP=4\sqrt{3}-x$，
在$Rt\triangle ABP$中，$AP=\sqrt{{AB}^{2}+B{P}^{2}}=\sqrt{16+{x}^{2}}$，
而$CP=\sqrt{2}PQ=\sqrt{2}AP=\sqrt{2}\times \sqrt{16+{x}^{2}}=4\sqrt{3}-x$，
$\therefore x=8-4\sqrt{3}($负值舍去），
$\therefore CP=8\sqrt{3}-8$，
$\therefore CQ=\frac{\sqrt{2}}{2}CP=4\sqrt{6}-4\sqrt{2}$.
故答案为：$4\sqrt{6}-4\sqrt{2}$.

如图，连结$AC$，$BD$交于点$O$，连结$OQ$.
在矩形$ABCD$中，$OA=OC=OB=OD$，
$\because AB=4.BC=4\sqrt{3}$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=64$.
$\therefore AC=8(-8$不合题意舍去)。
$\therefore AO=OB=AB=4$，
$\therefore \triangle AOB$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC=60^{\circ}$，
$\because$线段$AP$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$AQ$，
$\therefore AP=AQ$，$\angle PAQ=60^{\circ}$，
$\because \angle BAC=\angle PAQ$，
$\therefore \angle BAP=\angle CAQ$，
$\because$又$AB=AO$，$AP=AQ$，
$\therefore \triangle ABP$≌$\triangle AOQ\left(SAS\right).$
$\therefore \angle ABP=\angle AOQ=90^{\circ}$，
$\because O$为$AC$的中点，
$\therefore OQ$垂直平分$AC$，
$\therefore AQ=CQ$.
$\because \angle BCQ=\angle DCQ$，
而$\angle BCQ+\angle DCQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle QCB=45^{\circ}$，
而$PQ=CQ$，
$\therefore \angle PQC=90^{\circ}$，
设$PB=x$，则$CP=4\sqrt{3}-x$，
在$Rt\triangle ABP$中，$AP=\sqrt{{AB}^{2}+B{P}^{2}}=\sqrt{16+{x}^{2}}$，
而$CP=\sqrt{2}PQ=\sqrt{2}AP=\sqrt{2}\times \sqrt{16+{x}^{2}}=4\sqrt{3}-x$，
$\therefore x=8-4\sqrt{3}($负值舍去），
$\therefore CP=8\sqrt{3}-8$，
$\therefore CQ=\frac{\sqrt{2}}{2}CP=4\sqrt{6}-4\sqrt{2}$.
故答案为：$4\sqrt{6}-4\sqrt{2}$.